【C++】:AVL树的深度解析及其实现

24k纯甄 2024-07-28 12:05:03 阅读 86

目录

🚀前言一,AVL树的概念二,AVL树节点的定义三,AVL树的插入3.1 第一步3.2 第二步

四,AVL树的旋转4.1 右单旋4.2 左单旋4.3 右左双旋4.4 左右双旋4.5 插入代码的完整实现4.6 旋转总结

五,AVL树的验证六,AVL树的性能七,实现AVL树的完整代码

点击跳转至文章:

【C++/STL】:set和map的介绍及基本使用】

点击跳转至文章:【C++】:二叉树进阶 — 搜索二叉树

🚀前言

上一篇文章对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍,在其文档介绍中发现,这几个容器有个共同点是:其底层都是按照二叉搜索树来实现的,但是二叉搜索树有其自身的缺陷,假如往树中插入的元素有序或者接近有序,二叉搜索树就会退化成单支树,时间复杂度会退化成O(N),因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理,即采用平衡树来实现。

本篇文章介绍的就是平衡树之一的:AVL树。

注意:本篇文章AVL树实现的 key_value 模型。因为实际上 map/set 的底层并不是用AVL树封装的,而是用红黑树(下一篇文章),在红黑树的部分我们再对 key 和 key_value 模型进行更深层次的封装

一,AVL树的概念

对于二叉搜索树极端情况下查找效率低下的问题,有大佬提出了这样的解决方法:

当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:

(1) 它的左右子树都是AVL树

(2) 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

在这里插入图片描述

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在

O

(

l

o

g

2

n

)

O(log_2 n)

O(log2​n),搜索时间复杂度O(

l

o

g

2

n

log_2 n

log2​n)

二,AVL树节点的定义

AVL树节点的定义:

(1) 三叉链:左子树,右子树,父亲。

(2) 平衡因子:一般情况下是,右子树高度 - 左子树高度

(3) key_value 模型的 pair 类型的数据

<code>template<class K, class V>

struct AVLTNode

{

pair<K, V> _kv;

AVLTNode<K, V>* _left;

AVLTNode<K, V>* _right;

AVLTNode<K, V>* _parent;

int _bf; //平衡因子:右子树高度- 左子树高度

AVLTNode(const pair<K, V>& kv)

:_kv(kv)

, _left(nullptr)

, _right(nullptr)

, _parent(nullptr)

, _bf(0)

{ }

};

三,AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步:

3.1 第一步

先按照二叉搜索树的方式插入新节点:

bool Insert(const pair<K, V>& kv)

{

if (_root == nullptr)

{

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* cur = _root;

Node* parent = nullptr;

while (cur)

{

if (cur->_kv.first > kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

else if (cur->_kv.first < kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

else

return false;

}

cur = new Node(kv);

//链接时要判断链接在左还是右

if (parent->_kv.first > kv.first)

parent->_left = cur;

else

parent->_right = cur;

cur->_parent = parent;

// 调节平衡因子……

return true;

}

3.2 第二步

再调整节点的平衡因子:

根据插入情况来更新 parent 的平衡因子,并且根据平衡因子来判断是否破坏了AVL树的平衡性。

重点分析:

在插入之前,parent 的平衡因子可能为:-1,0或1。插入分以下两种情况:

(1) 如果 cur 插入到 parent 的左侧,只需给 parent 的平衡因子 -1 即可

(2) 如果 cur 插入到 parent 的右侧,只需给parent 的平衡因子 +1 即可

插入后,此时:parent 的平衡因子可能为:0,正负1, 正负2。对应下面三种情况:

(1) 如果 parent 的平衡因子为0,说明插入之前 parent 的平衡因子为正负1,插入后被调整成0,此时满足AVL树的性质,插入成功,停止检查

(2) 如果 parent 的平衡因子为正负1,说明插入前 parent 的平衡因子一定为0,插入后被更新成正负1,此时以 parent 为根的树的高度增加,需要继续向上更新检查

(3) 如果 parent 的平衡因子为正负2,则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质,此时需要对其进行旋转处理

//调节平衡因子……续上文代码

//从cur开始,一直向上更新。根据cur是parent的左或右,

// 对parent的平衡因子--或++

while (parent)

{

if (cur == parent->_left)

parent->_bf--;

else

parent->_bf++;

if (parent->_bf == 0)

break; // 此时平衡了,停止更新

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)

{

//继续向上更新

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)

{

// 旋转操作……

}

}

四,AVL树的旋转

如果 parent 的平衡因子为正负2,此时必须调整树的结构,使之平衡化。

根据节点插入位置的不同,AVL树的旋转分为四种,下面将通过抽象图与具象图进行详细介绍:

说明:下面的抽象图中 a/b/c/d 表示AVL树,h/h+1 表示树的高度, h >= 0

4.1 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧 — 左左:右单旋

抽象图

在这里插入图片描述

上图在插入前,AVL树是平衡的,新节点插入到30的左子树(注意:此处不是左孩子)中,30左

子树增加了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60左子树的高度减少一层,右子树增加一层,即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的右子树,而如果30有右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中,有以下几种情况需要考虑:

(1) 30节点的右孩子可能存在,也可能不存在

(2) 60可能是根节点,也可能是子树。如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点,如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树。

具象图

具象图的实际情况有无穷多种,这里用 h == 1 来说明情况。

在这里插入图片描述

插入新增后向上检查变到第二个图,此时需要旋转,把30的右子树拿给60当左子树,60的左边太高了,把它向下压降低高度,把60那个子树拿给30当右子树。

代码实现如下:

<code>//右单旋

void RotateR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

if (subLR)

subLR->_parent = parent;

parent->_left = subLR;

subL->_right = parent;

//改变之前记录

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subL;

//parent为根

if (parent == _root)

{

_root = subL;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

//parent为一颗子树

if (ppNode->_left == parent)

ppNode->_left = subL;

else

ppNode->_right = subL;

subL->_parent = ppNode;

}

parent->_bf = subL->_bf = 0;

}

4.2 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右:左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋。

抽象图

在这里插入图片描述

具象图

在这里插入图片描述

代码实现如下:

<code>//左单旋

void RotateL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

if (subRL)

subRL->_parent = parent;

parent->_right = subRL;

subR->_left = parent;

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subR;

//parent为根

if (parent == _root)

{

_root = subR;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

//parent为一颗子树

if (ppNode->_left == parent)

ppNode->_left = subR;

else

ppNode->_right = subR;

subR->_parent = ppNode;

}

parent->_bf = subR->_bf = 0;

}

4.3 右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左:先右单旋再左单旋。

抽象图

![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ba29d676d7784dd7893a2df9a54b5838.png

将双旋变成单旋后再旋转,即:先对90进行右单旋,然后再对30进行左单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

具象图

有了上面的左单旋,右单旋,双旋可以直接复用,双旋后麻烦的是平衡因子的更新,又有三种情况:

旋转前保存 subRL 的平衡因子,旋转完成之后,需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子

在这里插入图片描述

代码实现如下:

<code>//右左双旋

void RotateRL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

int bf = subRL->_bf;

RotateR(parent->_right); // 经过这个单旋,变成单纯的右边高

RotateL(parent);

if (bf == -1)

{

parent->_bf = 0;

subR->_bf = 1;

subRL->_bf = 0;

}

else if (bf == 1)

{

parent->_bf = -1;

subR->_bf = 0;

subRL->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

parent->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

subRL->_bf = 0;

}

else

assert(false);

}

4.4 左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右:先左单旋再右单旋。

抽象图

在这里插入图片描述

将双旋变成单旋后再旋转,即:先对30进行左单旋,然后再对90进行右单旋,旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

具象图

在这里插入图片描述

代码实现如下:

<code>//左右双旋

void RotateLR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

int bf = subLR->_bf;

RotateL(subL); // 经过这个单旋,变成单纯的右边高

RotateR(parent);

if (bf == -1)

{

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 1;

subLR->_bf = 0;

}

else if (bf == 1)

{

subL->_bf = -1;

parent->_bf = 0;

subLR->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

subLR->_bf = 0;

}

else

assert(false);

}

4.5 插入代码的完整实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)

{

if (_root == nullptr)

{

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* cur = _root;

Node* parent = nullptr;

while (cur)

{

if (cur->_kv.first > kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

else if (cur->_kv.first < kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

else

return false;

}

cur = new Node(kv);

//链接时要判断链接在左还是右

if (parent->_kv.first > kv.first)

parent->_left = cur;

else

parent->_right = cur;

cur->_parent = parent;

//更新平衡因子

//从cur开始,一直向上更新。根据cur是parent的左或右,

// 对parent的平衡因子--或++

while (parent)

{

if (cur == parent->_left)

parent->_bf--;

else

parent->_bf++;

if (parent->_bf == 0)

break; // 此时平衡了,停止更新

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)

{

//继续向上更新

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)

{

//当前子树出现了问题,需要旋转平衡一下

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)

{

//单纯左边高,右单旋

RotateR(parent);

}

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)

{

//单纯右边高,左单旋

RotateL(parent);

}

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)

{

//右左双旋

RotateRL(parent);

}

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)

{

//左右双旋

RotateLR(parent);

}

//旋转完成后,就不要继续向上更新了,因为此时已经达到了平衡,

// 并且旋转后高度不变,不影响上面的父亲了

break;

}

else

assert(false);

}

return true;

}

4.6 旋转总结

总结:

假如以 parent 为根的子树不平衡,即 parent 的平衡因子为2或者-2,分以下情况考虑:

(1) parent 的平衡因子为2,说明 parent 的右子树高,设 parent 的右子树的根为 subR:

当pSubR的平衡因子为1时,执行左单旋

当pSubR的平衡因子为-1时,执行右左双旋

(2) parent 的平衡因子为-2,说明 parent 的左子树高,设 parent 的左子树的根为 subL:

当 subL 的平衡因子为-1是,执行右单旋

当 subL 的平衡因子为1时,执行左右双旋

顺口溜:parent 和 subL/subR 的平衡因子,同号单旋,异号双旋

旋转完成后,原 parent 为根的子树个高度降低,已经平衡,不需要再向上更新。

五,AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,因此要验证AVL树,可以分两步:

(1) 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树

(2) 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确

代码实现如下:

public:

//中序遍历

void Inorder()

{

_Inorder(_root);

cout << endl;

}

//检查是否平衡

bool Is_balance()

{

return _Is_balance(_root);

}

private:

int _Height(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return 0;

return max(_Height(root->_left) , _Height(root->_right)) + 1;

}

bool _Is_balance(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return true;

int leftHeight = _Height(root->_left);

int rightHeight = _Height(root->_right);

//判断左右子树的高度差

if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)

{

cout << root->_kv.first << endl;

return false;

}

return _Is_balance(root->_left) && _Is_balance(root->_right);

}

void _Inorder(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return;

_Inorder(root->_left);

cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;

_Inorder(root->_right);

}

六,AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即

l

o

g

2

(

N

)

log_2 (N)

log2​(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合。

七,实现AVL树的完整代码

AVLTree.h

#pragma once

#include <iostream>

#include <assert.h>

#include <algorithm>

using namespace std;

template<class K, class V>

struct AVLTNode

{

pair<K, V> _kv;

AVLTNode<K, V>* _left;

AVLTNode<K, V>* _right;

AVLTNode<K, V>* _parent;

int _bf; //平衡因子:右子树高度- 左子树高度

AVLTNode(const pair<K, V>& kv)

:_kv(kv)

, _left(nullptr)

, _right(nullptr)

, _parent(nullptr)

, _bf(0)

{ }

};

template<class K, class V>

class AVLTree

{

typedef AVLTNode<K, V> Node;

public:

Node* Find(const pair<K, V>& kv)

{

Node* cur = _root;

while (cur)

{

if (cur->_kv.first > kv.first)

cur = cur->_left;

else if (cur->_kv.first < kv.first)

cur = cur->_right;

else

return cur;

}

return nullptr;

}

bool Insert(const pair<K, V>& kv)

{

if (_root == nullptr)

{

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* cur = _root;

Node* parent = nullptr;

while (cur)

{

if (cur->_kv.first > kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

else if (cur->_kv.first < kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

else

return false;

}

cur = new Node(kv);

//链接时要判断链接在左还是右

if (parent->_kv.first > kv.first)

parent->_left = cur;

else

parent->_right = cur;

cur->_parent = parent;

//更新平衡因子

//从cur开始,一直向上更新。根据cur是parent的左或右,

// 对parent的平衡因子--或++

while (parent)

{

if (cur == parent->_left)

parent->_bf--;

else

parent->_bf++;

if (parent->_bf == 0)

break; // 此时平衡了,停止更新

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)

{

//继续向上更新

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)

{

//当前子树出现了问题,需要旋转平衡一下

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)

{

//单纯左边高,右单旋

RotateR(parent);

}

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)

{

//单纯右边高,左单旋

RotateL(parent);

}

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)

{

//右左双旋

RotateRL(parent);

}

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)

{

//左右双旋

RotateLR(parent);

}

//旋转完成后,就不要继续向上更新了,因为此时已经达到了平衡,

// 并且旋转后高度不变,不影响上面的父亲了

break;

}

else

assert(false);

}

return true;

}

//右单旋

void RotateR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

if (subLR)

subLR->_parent = parent;

parent->_left = subLR;

subL->_right = parent;

//改变之前记录

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subL;

//parent为根

if (parent == _root)

{

_root = subL;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

//parent为一颗子树

if (ppNode->_left == parent)

ppNode->_left = subL;

else

ppNode->_right = subL;

subL->_parent = ppNode;

}

parent->_bf = subL->_bf = 0;

}

//左单旋

void RotateL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

if (subRL)

subRL->_parent = parent;

parent->_right = subRL;

subR->_left = parent;

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subR;

//parent为根

if (parent == _root)

{

_root = subR;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

//parent为一颗子树

if (ppNode->_left == parent)

ppNode->_left = subR;

else

ppNode->_right = subR;

subR->_parent = ppNode;

}

parent->_bf = subR->_bf = 0;

}

//右左双旋

void RotateRL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

int bf = subRL->_bf;

RotateR(parent->_right); // 经过这个单旋,变成单纯的右边高

RotateL(parent);

if (bf == -1)

{

parent->_bf = 0;

subR->_bf = 1;

subRL->_bf = 0;

}

else if (bf == 1)

{

parent->_bf = -1;

subR->_bf = 0;

subRL->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

parent->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

subRL->_bf = 0;

}

else

assert(false);

}

//左右双旋

void RotateLR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

int bf = subLR->_bf;

RotateL(subL); // 经过这个单旋,变成单纯的右边高

RotateR(parent);

if (bf == -1)

{

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 1;

subLR->_bf = 0;

}

else if (bf == 1)

{

subL->_bf = -1;

parent->_bf = 0;

subLR->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

subLR->_bf = 0;

}

else

{

assert(false);

}

}

//中序遍历

void Inorder()

{

_Inorder(_root);

cout << endl;

}

//检查是否平衡

bool Is_balance()

{

return _Is_balance(_root);

}

private:

int _Height(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return 0;

return max(_Height(root->_left) , _Height(root->_right)) + 1;

}

bool _Is_balance(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return true;

int leftHeight = _Height(root->_left);

int rightHeight = _Height(root->_right);

//判断左右子树的高度差

if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)

{

cout << root->_kv.first << endl;

return false;

}

return _Is_balance(root->_left) && _Is_balance(root->_right);

}

void _Inorder(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return;

_Inorder(root->_left);

cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;

_Inorder(root->_right);

}

private:

Node* _root = nullptr;

};

//测试代码

void Test1()

{

int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };

AVLTree<int, int> t;

for (auto e : a)

t.Insert({ e ,e});

t.Inorder();

cout << t.Is_balance() << endl;

}

Test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include "AVLTree.h"

int main()

{

Test1();

return 0;

}

运行结果

中序遍历是有序的,说明是搜索二叉树,返回1,说明是平衡树

在这里插入图片描述



声明

本文内容仅代表作者观点,或转载于其他网站,本站不以此文作为商业用途
如有涉及侵权,请联系本站进行删除
转载本站原创文章,请注明来源及作者。