【C++深度探索】AVL树的底层实现机制
大耳朵土土垚 2024-08-06 08:35:01 阅读 76
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前言
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树.一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:它的左右子树都是AVL树,左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1).接下来我们继续学习AVL树底层实现的部分机制.
文章目录
前言1.AVL树结构2.AVL树的插入✨左单旋✨右单旋✨右左双旋✨左右双旋
3.中序遍历4. AVL树的验证5.验证用例6.结语
1.AVL树结构
<code>//AVL树节点类
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _pLeft;
AVLTreeNode<K, V>* _pRight;
AVLTreeNode<K, V>* _pParent;
int _bf; // balance factor
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _pLeft(nullptr)
, _pRight(nullptr)
, _pParent(nullptr)
, _bf(0)
{ }
};
// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
AVLTree()
: _pRoot(nullptr)
{ }
// 在AVL树中插入值为kv的节点
bool Insert(const pair<K, V>& kv);
//中序遍历
void InOrder()
{
_InOrder(_pRoot);
}
//判断是否是平衡树
bool IsBalanceTree()
{
//嵌套一层函数
return _IsBalanceTree(_pRoot);
}
private:
bool _IsBalanceTree(Node* pRoot);
int _Height(Node* pRoot);
void _InOrder(Node* root);
// 右单旋
void RotateR(Node* parent);
// 左单旋
void RotateL(Node* parent);
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent);
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
2.AVL树的插入
AVL树的插入过程可以分为两步:
按照二叉搜索树的方式插入新节点调整节点的平衡因子
在插入新节点之后,AVL树的平衡性可能会遭到破坏,此时就需要更新平衡因子,并检测是否破坏了AVL树的平衡性。
如下图所示:
pCur插入后,pParent的平衡因子一定需要调整,在插入之前,pParent
的平衡因子分为三种情况:-1,0, 1, 分以下两种情况:
如果pCur插入到pParent的左侧,只需给pParent的平衡因子-1即可,如上图所示如果pCur插入到pParent的右侧,只需给pParent的平衡因子+1即可
此时,pParent的平衡因子也可能有三种情况:0,正负1, 正负2
如果pParent的平衡因子为0,说明插入之前pParent的平衡因子为正负1,插入后被调整成0,此时满足AVL树的性质,插入成功,如上图所示;如果pParent的平衡因子为正负1,说明插入前pParent的平衡因子一定为0(不可能是2,因为这样没插入新节点前该树就已经不平衡了),插入后被更新成正负1,此时以pParent为根的树的高度增加,需要继续向上更新,如下图所示:
AVL树插入新节点90之后,pParent也就是80节点的平衡因子就需要更新为1,继续往上更新,直到60节点的平衡因子被更新为2,说明不符合AVL树的性质,就需要进行旋转来维持平衡。
如果更新后pParent的平衡因子为正负2,则pParent的平衡因子违反平衡树的性质,需要对其进行旋转处理,如上图所示
所以对于AVL树插入新节点来说,我们需要更新插入后由于左右子树高度差改变带来的新的平衡因子,然后根据平衡因子是否大于1或小于-1来判断AVL树是否平衡,如果不平衡我们就必须通过旋转来维持平衡,代码如下:
<code>// 在AVL树中插入值为kv的节点
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//1.先构造新节点
Node* newnode = new Node(kv);
Node* cur = _pRoot;
//2.判断插入位置
if (cur == nullptr)
{
//如果树为空
_pRoot = newnode;
return true;
}
//如果AVL树不为空,找到插入位置
Node* parent = cur->_pParent;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_pLeft;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_pRight;
}
//找到相同节点,AVL树不能插入相同节点
else
{
return false;
}
}
//3.插入节点
//先判断是插入左边还是右边
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
//插入左边
parent->_pLeft = newnode;
}
else
{
//插入右边
parent->_pRight = newnode;
}
newnode->_pParent = parent;
cur = newnode;
//4.更新平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_pLeft == cur)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
// 更新后检测双亲的平衡因子
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//平衡因子需要继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_pParent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
//左边高进行右单旋
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
//右边高进行左单旋
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else//(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
//其他情况,断言报错
assert(false);
}
}
return true;
}
这里要注意AVL树不能插入相同节点
AVL树插入新节点的逻辑结构如上述代码所示,如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点,可能造成不平衡,此时必须调整树的结构,使之平衡化。根据节点插入位置的不同,AVL树的旋转分为四种:那么我们具体来看看AVL树旋转的实现:
✨左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右:左单旋
parent和cur的平衡因子经过旋转之后变为0,维持了AVL树的平衡。
代码如下:
<code>// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pRight;
//将cur的左边给parent的右边,cur的左边再指向parent
parent->_pRight = cur->_pLeft;
cur->_pLeft = parent;
//链接cur与parent的父节点
if (parent->_pParent == nullptr)
{
//如果pParent是根节点
cur->_pParent = nullptr;
_pRoot = cur;
}
else if (parent->_pParent->_pLeft == parent)
parent->_pParent->_pLeft = cur;
else
parent->_pParent->_pRight = cur;
//更新父节点
cur->_pParent = parent->_pParent;
parent->_pParent = cur;
if(parent->_pRight)//判断pParent的右边是否存在
parent->_pRight->_pParent = parent;
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
✨右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左:右单旋
代码如下:
<code>// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pLeft;
//将cur的右边给pParent的左边,cur的右边再指向pParent
parent->_pLeft = cur->_pRight;
cur->_pRight = parent;
//链接cur与pParent的父节点
if (parent->_pParent == nullptr)
{
//如果pParent是根节点
cur->_pParent = nullptr;
_pRoot = cur;
}
else if (parent->_pParent->_pLeft == parent)
parent->_pParent->_pLeft = cur;
else
parent->_pParent->_pRight = cur;
//更新父节点
cur->_pParent = parent->_pParent;
parent->_pParent = cur;
if (parent->_pLeft)
parent->_pLeft->_pParent = parent;
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
✨右左双旋
新节点插入较高右子树的左侧—右左:先右单旋再左单旋,借助上面实现的右单旋和左单旋即可
如下图所示,较高右子树(以cur节点为根节点的树)的左侧(以child节点为根节点的树),插入节点,注意这里可以插入child的左侧或右侧,只要插入在child的子树上即可,所以可以是下图中的b或c,这里选择b:
前文我们说过只要插入在child的子树上即可,所以可以是上图中的b或c,这里选择b,那么如果是c的话,还是需要进行左右双旋,与选b的区别在于平衡因子的不同,这里可以根据具体选择分析出来,所以在双旋之后记得根据不同的插入位置更新不同的平衡因子。
代码如下:
<code>// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pRight;
Node* child = cur->_pLeft;
//旋转前保存child的平衡因子
int bf = child->_bf;
//cur的左边高,先右旋
RotateR(cur);
//再左旋
RotateL(parent);
//根据不同插入位置更新不同的平衡因子
if (bf == -1)//插入在b
{
cur->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//插入在c
{
parent->_bf = -1;
}
}
✨左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右:先左单旋再右单旋,借助上面实现的右单旋和左单旋即可
如下图所示,左右双旋与右左双旋类似,也可以插入在下图中的b或从,旋转方式一样,不影响,就是最后平衡因子需要根据插入的位置更新:
代码如下:
<code>// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_pLeft;
Node* child = cur->_pRight;
//旋转前保存child的平衡因子
int bf = child->_bf;
//cur的右边高,先左旋
RotateL(cur);
//再右旋
RotateR(parent);
//根据不同插入位置更新不同的平衡因子
if (bf == -1)//b
{
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)//c
{
cur->_bf = -1;
}
}
小结:
假如以parent为根的子树不平衡,即parent的平衡因子为2或者-2,分以下情况考虑
parent的平衡因子为2,说明parent的右子树高,设parent的右子树的根为cur
当cur的平衡因子为1时,执行左单旋
当cur的平衡因子为-1时,执行右左双旋parent的平衡因子为-2,说明parent的左子树高,设parent的左子树的根为cur
当cur的平衡因子为-1是,执行右单旋
当cur的平衡因子为1时,执行左右双旋
旋转完成后,原parent为根的子树个高度降低,已经平衡,不需要再向上更新。
3.中序遍历
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树,其中序遍历和我们之前实现过的二叉搜索树一样。
代码如下:
//中序遍历
void InOrder()
{
_InOrder(_pRoot);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_pLeft);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_pRight);
}
4. AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,因此要验证AVL树,可以分两步:
验证其是否为二叉搜索树:
如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树验证其是否为平衡树:
每个节点子树高度差的绝对值不超过1
对于验证是否是平衡树,代码如下:
bool IsBalanceTree()
{
//嵌套一层函数
return _IsBalanceTree(_pRoot);
}
bool _IsBalanceTree(Node* pRoot)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == pRoot) return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子:即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等,或者pRoot平衡因子的绝对值超过1,则一定不是AVL树
if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树,则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot -
> _pRight);
}
//求树的高度
size_t _Height(Node* pRoot)
{
if (pRoot == nullptr)
return 0;
size_t left = _Height(pRoot->_pLeft);
size_t right = _Height(pRoot->_pRight);
return (left >= right ? left : right) + 1;
}
计算pRoot节点的平衡因子:即计算pRoot左右子树的高度差,我们利用递归实现即可。计算是否为平衡树因为是递归需要传递根节点,但是我们在使用时并不能获取根节点,所以需要嵌套一层函数。
5.验证用例
void TestAVLTree()
{
AVLTree<int, int> t;
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//用例1
//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };//用例2
for (auto e : a)
{
t.Insert({ e, e });
}
cout <<"是否是平衡树:"<< t.IsBalanceTree() << endl;
t.InOrder();
}
结果如下:
6.结语
因为AVL树也是二叉搜索树,其他的类似查找节点,析构函数和构造函数都与二叉搜索树类似,对于删除节点,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然后再更新平衡因子,最差情况下一直要调整到根节点的位置,大家有兴趣可以自己查找了解一下,以上就是今天所有的内容啦~ 完结撒花 ~🥳🎉🎉
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