✨个人主页： 熬夜学编程的小林

💗系列专栏： 【C语言详解】 【数据结构详解】【C++详解】

目录

1 AVL 树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

1.3 AVL树的插入

1.4 AVL树的旋转

1.5 AVL树的验证

1 AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii

和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

为什么保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，而不是高度差为0？

有些结点情况下，比如2/4，做不到平衡，因此退而求其次，左右的高度差不超过1。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)高度之差 == 右树高度 - 左树高度(博主实现AVL树以这个为标准)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

O(log2 n)，搜索时间复杂度O(log2 n)。

1.2 AVL树节点的定义

AVL树的节点定义的成员变量：

存储值：每个节点存储的值。左节点指针：指向当前节点的左节点的指针。右节点指针：指向当前节点的右节点的指针。双亲节点指针：指向当前节点的双亲节点的指针。根节点的双亲节点指针为空。平衡因子：表示当前节点的右子树高度和左子树高度之差。平衡因子可以为-1、0或1。

AVL树节点的定义： 

<code>template<class K,class V>

struct AVLTreeNode

{

AVLTreeNode<K, V>* _left;// 左孩子

AVLTreeNode<K, V>* _right;// 右孩子

AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 双亲

pair<K, V> _kv;

int _bf;// balance factor 平衡因子

AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)

:_left(nullptr)

,_right(nullptr)

,_parent(nullptr)

,_kv(kv)

,_bf(0)

{}

};

AVL树基本结构的定义：

template<class K,class V>

class AVLTree

{

// 重命名结点

typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

public:

// 插入

bool Insert(const pair<K,V>& kv);

// 判平衡

bool IsBalance()

// 求高度

int Height()

// 求结点个数

int Size()

// 查找

Node* Find(const K& key)

// 中序遍历

void InOrder()

private:

// 结点成员

Node* _root = nullptr;

};

1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点2. 调整节点的平衡因子

按照搜索树规则插入节点

bool Insert(const pair<K,V>& kv)

{

// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

if (_root == nullptr)

{

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* parent = nullptr;

Node* cur = _root;

while (cur)

{

// 插入值更大则插入到右边

// .优先级高于->

if (cur->_kv.first < kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

// 小则在左边

else if (cur->_kv.first > kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回false

else

{

return false;

}

}

// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置

// key值大于父亲的值则在右侧

cur = new Node(kv);

if (parent->_kv.first < kv.first)

{

parent->_right = cur;

}

else

{

parent->_left = cur;

}

// 链接双亲结点，搜索二叉树没有双亲结点

cur->_parent = parent;

//...

}

更新插入节点的平衡因子

cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

 1. 如果cur插入到pParent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可 2. 如果cur插入到pParent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

 

此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

 1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功 2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

<code>bool Insert(const pair<K,V>& kv)

{

// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

// 更新平衡因子

while (parent)// 最坏情况为空结束循环

{

// 插入父亲的左边，父亲的平衡因子--

if (cur == parent->_left)

{

parent->_bf--;

}

// 插入父亲的右边，父亲的平衡因子++

else

{

parent->_bf++;

}

// 判断父亲的平衡因子的情况

// 平衡因子为0，树高度没变，不再更新

if (parent->_bf == 0)

{

break;

}

// 父亲的子树高度变了，需要继续更新平衡因子

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)

{

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

// 父亲所在的子树高度不平衡，需要旋转处理

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)

{

// 旋转

}

// 理论上不可能出现该情况

else

{

assert(false);

}

}

return true;

}

1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

抽象图

 具象图

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要虑：

 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

 2. 60可能是根节点，也可能是子树

 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 

代码 

<code>// 右单旋 左边较高

void RotateR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

// 更新parent

parent->_left = subLR;

// subLR不为空则更新父亲，subLR为30的右孩子

if (subLR)

subLR->_parent = parent;

subL->_right = parent;//xxx

// 提前存parent的父亲

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subL;

// parent为根节点

if (parent == _root)

{

_root = subL;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

// parent为ppNode的左结点

if (parent == ppNode->_left)

{

ppNode->_left = subL;

}

else

{

ppNode->_right = subL;

}

subL->_parent = ppNode;

}

// 更新平衡因子

subL->_bf = parent->_bf = 0;

}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

 1. 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在

 2. 30可能是根节点，也可能是子树

 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 

代码 

<code>// 左单旋 右边较高

void RotateL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

// 更新parent

parent->_right = subRL;

// subRL不为空，subRL为60的左孩子

if (subRL)

subRL->_parent = parent;

subR->_left = parent;

// 提前存parent的父结点

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subR;

// parent为根节点

if (parent == _root)

{

_root = subR;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

// 左

if (parent == ppNode->_right)

{

ppNode->_right = subR;

}

else

{

ppNode->_left = subR;

}

subR->_parent = ppNode;

}

// 平衡因子

subR->_bf = parent->_bf = 0;

}

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

抽象图

在 b 子树中插入

在 c 子树中插入 

具象图 

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。 

<code>// 左右单旋

void RotateLR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

int bf = subLR->_bf;

// 先对左孩子左单旋

RotateL(parent->_left);

// 再对parent右单旋

RotateR(parent);

if (bf == -1)

{

subLR->_bf = 0;

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 1;

}

else if (bf == 1)

{

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

subL->_bf = -1;

}

else if (bf == 0)

{

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

subL->_bf = 0;

}

else

{

assert(false);

}

}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

抽象图

在c 子树中插入

在 b 子树中插入 

具象图 

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。  

<code>void RotateRL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况

// 先对右孩子右单旋

RotateR(parent->_right);

// 再对自己左单旋

RotateL(parent);

if (bf == 1)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

parent->_bf = -1;

}

else if (bf == -1)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 1;

parent->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else

{

assert(false);

}

}

 注意：双旋之后需要调节根据情况调节平衡因子，单旋之后平衡因子都为0。

总结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为SubR

当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为SubL

当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。 

1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确

高度计算

int _Height(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return 0;

// 左右子树较高树的高度+1

return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;

}

判断平衡

1.空树则满足平衡搜索二叉树

2.判断当前结点高度差的绝对值是否小于等于1

3.检查平衡因子是否正确

4.继续判断左子树与右子树

bool _IsBalance(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return true;

int leftHeight = _Height(root->_left);

int rightHeight = _Height(root->_right);

// 不平衡能直接返回结果

if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)

return false;

// 顺便检查一下平衡因子是否正确

if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)

{

cout << root->_kv.first << endl;

return false;

}

return _IsBalance(root->_left)

&& _IsBalance(root->_right);

}

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。 

1.8 AVL树完整代码

template<class K,class V>

struct AVLTreeNode

{

AVLTreeNode<K, V>* _left;

AVLTreeNode<K, V>* _right;

AVLTreeNode<K, V>* _parent;

pair<K, V> _kv;

int _bf;// balance factor

AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)

:_left(nullptr)

,_right(nullptr)

,_parent(nullptr)

,_kv(kv)

,_bf(0)

{}

};

template<class K,class V>

class AVLTree

{

typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

public:

bool Insert(const pair<K,V>& kv)

{

if (_root == nullptr)

{

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* parent = nullptr;

Node* cur = _root;

while (cur)

{

// 插入值更大则插入到右边

// .优先级高于->

if (cur->_kv.first < kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

// 小则在左边

else if (cur->_kv.first > kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回false

else

{

return false;

}

}

// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置

// key值大于父亲的值则在右侧

cur = new Node(kv);

if (parent->_kv.first < kv.first)

{

parent->_right = cur;

}

else

{

parent->_left = cur;

}

cur->_parent = parent;

// 更新平衡因子

while (parent)// 最坏情况为空结束循环

{

// 插入父亲的左边，父亲的平衡因子--

if (cur == parent->_left)

{

parent->_bf--;

}

// 插入父亲的右边，父亲的平衡因子++

else

{

parent->_bf++;

}

// 判断父亲的平衡因子的情况

// 平衡因子为0，树高度没变，不再更新

if (parent->_bf == 0)

{

break;

}

// 父亲的子树高度变了，需要继续更新平衡因子

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)

{

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

// 父亲所在的子树高度不平衡，需要旋转处理

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)

{

// 右单旋

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)

{

RotateR(parent);

}

// 左单旋

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)

{

RotateL(parent);

}

// 右左单旋 右高 左高

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)

{

RotateRL(parent);

}

// 左右单旋 左高 右高

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)

{

RotateLR(parent);

}

break;// 跳出循环，旋转之后一定平衡

}

// 理论上不可能出现该情况

else

{

assert(false);

}

}

return true;

}

// 右单旋 左边较高

void RotateR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

// 更新parent

parent->_left = subLR;

// subLR不为空则更新父亲

if (subLR)

subLR->_parent = parent;

subL->_right = parent;//xxx

// 提前存parent的父亲

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subL;

// parent为根节点

if (parent == _root)

{

_root = subL;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

// parent为ppNode的左结点

if (parent == ppNode->_left)

{

ppNode->_left = subL;

}

else

{

ppNode->_right = subL;

}

subL->_parent = ppNode;

}

// 更新平衡因子

subL->_bf = parent->_bf = 0;

}

// 左单旋 右边较高

void RotateL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

// 更新parent

parent->_right = subRL;

// subRL不为空

if (subRL)

subRL->_parent = parent;

subR->_left = parent;

// 提前存parent的父结点

Node* ppNode = parent->_parent;

parent->_parent = subR;

// parent为根节点

if (parent == _root)

{

_root = subR;

_root->_parent = nullptr;

}

else

{

// 左

if (parent == ppNode->_right)

{

ppNode->_right = subR;

}

else

{

ppNode->_left = subR;

}

subR->_parent = ppNode;

}

// 平衡因子

subR->_bf = parent->_bf = 0;

}

void RotateRL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况

// 先对右孩子右单旋

RotateR(parent->_right);

// 再对自己左单旋

RotateL(parent);

if (bf == 1)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

parent->_bf = -1;

}

else if (bf == -1)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 1;

parent->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else

{

assert(false);

}

}

// 左右单旋

void RotateLR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

int bf = subLR->_bf;

// 先对左孩子左单旋

RotateL(parent->_left);

// 再对parent右单旋

RotateR(parent);

if (bf == -1)

{

subLR->_bf = 0;

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 1;

}

else if (bf == 1)

{

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

subL->_bf = -1;

}

else if (bf == 0)

{

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

subL->_bf = 0;

}

else

{

assert(false);

}

}

bool IsBalance()

{

return _IsBalance(_root);

}

int Height()

{

return _Height(_root);

}

int Size()

{

return _Size(_root);

}

Node* Find(const K& key)

{

Node* cur = _root;

while (cur)

{

if (cur->_kv.first < key)

{

cur = cur->_right;

}

else if (cur->_kv.first > key)

{

cur = cur->_left;

}

else

{

return cur;

}

}

return nullptr;

}

void InOrder()

{

_InOrder(_root);

cout << endl;

}

private:

void _InOrder(Node* root)

{

if (root == nullptr)

{

return;

}

_InOrder(root->_left);

cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;

_InOrder(root->_right);

}

int _Height(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return 0;

// 较高树的高度+1

return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;

}

int _Size(Node* root)

{

return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;

}

bool _IsBalance(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return true;

int leftHeight = _Height(root->_left);

int rightHeight = _Height(root->_right);

// 不平衡能直接返回结果

if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)

return false;

// 顺便检查一下平衡因子是否正确

if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)

{

cout << root->_kv.first << endl;

return false;

}

return _IsBalance(root->_left)

&& _IsBalance(root->_right);

}

private:

Node* _root = nullptr;

};