LeetCode300.最长递增子序列

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

<li>输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

• 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
• 输出：4

示例 3：

• 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
• 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

动态规划思路讲解

• 我之前也讲过一篇最长上升子序列的文章，也可以去看看，本文基于线性dp：最长上升子序列 - Tomorrowland_D - 博客园 (cnblogs.com))来详细讲解这道题的思路

状态变量以及其含义

• 我们设置状态变量dp[i]，表示<code>以nums[i]为结尾的最长上升子序列的长度
• 我们举个例子，以示例1为例，我们来推导一下为什么可以用dp[i]来表示以nums[i]为结尾的最长上升子序列
• nums数组： [10,9,2,5,3,7,101,18]

1. 以10结尾的最长上升子序为：[10]
2. 以9为结尾的最长上升子序列为：[9]
3. 以2为结尾的最长上升子序列为：[2]
4. 以5为结尾的最长上升子序列为：[2，5]
5. 以3为结尾的最长上升子序列为：[2，3]
6. 以7为结尾的最长上升子序列为：[2，3，7]
7. 以101为结尾的最长上升子序列为：[2，3，7，101]
8. 以18为结尾的最长上升子序列为：[2，3，7，18]

• 由上面的分析可知，以101为结尾的最长上升子序列是我们要求的最终的结果，并且这个结果的状态可以由前面的状态推出，因此我们设立dp[i]这个状态变量表示以nums[i]为结尾的最长上升子序列。

递推公式：

• 我们可以设立两个指针i,j来进行操作，i指针来遍历nums的每一个元素，j指针来遍历nums[i]之前的所有元素，由于我们要找出最大的上升子序列，所以说每个元素我们都要找到nums中在这个元素之前的所有比这个元素要小的元素，这样才能尽可能的构成最大的递增子序列。

• 所以说我们使用i，j指针来遍历字符串。

• 当nums[i]>nums[j]时，意味着我们当前元素大于之前的一个元素，这两个元素之间可以构成一个递增子序列，所以说我们可能要进行更新dp[i]，为什么是可能呢？因为我们dp[i]的值可能比dp[j]+1（dp[j]+1的意思就是前j个元素构成的递增序列，再加上num[i]这个值的长度）这个值更大，所以说我们得取一个最大的值。

• 因此，递推公式为：

vector<int> dp(nums.size(),1);

int ans=1;

for(int i=1;i<nums.size();i++){

for(int j=0;j<i;j++){

if(nums[i]>nums[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);

}

ans=max(ans,dp[i]);

}

遍历顺序

• 由于dp[i]是要由它之前的元素dp[j]来推导的，因此遍历顺序明显是从前向后遍历

如何初始化？

• 首先，我们将dp[i]中的所有值全都初始化为1，因为每个元素至少都有一个递增子序列（也就是它本身构成的子序列）
• 然后，依据我们的递推公式从前向后进行初始化操作即可。

举例验证dp数组

• nums数组： [10,9,2,5,3,7,101,18]

1. 以10结尾的最长上升子序为：[10]
2. 以9为结尾的最长上升子序列为：[9]
3. 以2为结尾的最长上升子序列为：[2]
4. 以5为结尾的最长上升子序列为：[2，5]
5. 以3为结尾的最长上升子序列为：[2，3]
6. 以7为结尾的最长上升子序列为：[2，3，7]
7. 以101为结尾的最长上升子序列为：[2，3，7，101]
8. 以18为结尾的最长上升子序列为：[2，3，7，18]

• 这个例子也说明了我们的dp数组是正确的

代码实现

class Solution {

public:

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {

vector<int> dp(nums.size(),1);

//这个初始值为1，因为至少都有长度为1的递增子序列

int ans=1;

for(int i=1;i<nums.size();i++){

for(int j=0;j<i;j++){

if(nums[i]>nums[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);

}

ans=max(ans,dp[i]);

}

return ans;

}

};