学习率是神经网络训练中最重要的超参数之一，影响学习过程的速度和有效性。学习率过高会导致模型在最小值附近震荡，而学习率过低会导致训练过程非常缓慢甚至停滞。本文直观地介绍了学习率调度程序，它是用于在训练期间调整学习率的技术。

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1、什么是学习率？

在机器学习的背景下，学习率（learning rate）是一个超参数，它决定了优化算法（如梯度下降）在尝试最小化损失函数时进行的步长。

现在，让我们继续讨论学习率调度程序。

2、什么是学习率调度器？

学习率调度器（learning rate scheduler）是一种在训练过程中调整学习率的方法，通常会随着训练的进展而降低学习率。这有助于模型在训练开始时当参数远离其最佳值时进行大量更新，并在稍后当参数更接近其最佳值时进行较小的更新，从而允许进行更多微调。

实践中广泛使用了几种学习率调度器。在本文中，我们将重点介绍三种流行的调度器：阶跃衰减、指数衰减和余弦退火。

让我们通过直观的示例深入研究这些调度器中的每一个。

3、阶跃衰减调度器

阶跃衰减（step decay）调度器每隔几个时期将学习率降低一个常数因子。阶跃衰减的形式定义为：

其中：

lr_0​ 是初始学习率，d 是衰减率，s 是步长，epoch 是训练周期的索引。

让我们用一个玩具示例来直观地展示这一点：

<code># Parameters

initial_lr = 1.0

decay_factor = 0.5

step_size = 10

max_epochs = 100

# Generate learning rate schedule

lr = [

initial_lr * (decay_factor ** np.floor((1+epoch)/step_size))

for epoch in range(max_epochs)

]

# Plot

plt.figure(figsize=(10, 7))

plt.plot(lr)

plt.title('Step Decay Learning Rate Scheduler')

plt.ylabel('Learning Rate')

plt.xlabel('Epoch')

plt.grid()

plt.show()

现在，该图更清楚地展示了步进衰减调度程序的性质，学习率每 5 个时期下降 0.5 倍。

4、指数衰减调度器

让我们修改指数衰减（exponential decay）调度器的参数，使衰减更加明显。我们将使用更大的初始学习率和更大的衰减率。

其中：

lr_0​ 是初始学习率，k 是衰减率，epoch 是训练周期的索引。

<code># Parameters

initial_lr = 1.0

decay_rate = 0.05

max_epochs = 100

# Generate learning rate schedule

lr = [

initial_lr * np.exp(-decay_rate * epoch)

for epoch in range(max_epochs)

]

# Plot

plt.figure(figsize=(10, 7))

plt.plot(lr)

plt.title('Exponential Decay Learning Rate Scheduler')

plt.ylabel('Learning Rate')

plt.xlabel('Epoch')

plt.grid()

plt.show()

该图更清楚地显示了随着 epoch 数量的增加，学习率呈指数衰减。

5、余弦退火调度器

余弦退火（cosine annealing）调度器使用基于余弦的计划降低学习率。余弦退火的形式定义为：

其中：

lr_min​ 是最小学习率，lr_max​ 是最大学习率，epoch 和 max_epochs 分别是当前和最大 epoch 数值。

<code># Parameters

lr_min = 0.001

lr_max = 0.1

max_epochs = 100

# Generate learning rate schedule

lr = [

lr_min + 0.5 * (lr_max - lr_min) * (1 + np.cos(epoch / max_epochs * np.pi))

for epoch in range(max_epochs)

]

# Plot

plt.figure(figsize=(10, 7))

plt.plot(lr)

plt.title("Cosine Annealing Learning Rate Scheduler")

plt.ylabel("Learning Rate")

plt.xlabel("Epoch")

plt.show()

如图所示，学习率按照余弦函数下降，从最大学习率开始下降到最小学习率。这是余弦退火学习率调度器的特点。

6、结束语

学习率调度器是机器学习从业者工具包中的一个重要工具，它提供了一种随时间调整学习率的机制，有助于提高训练过程的效率和效果。最佳学习率调度器可能取决于具体问题和数据集，尝试不同的调度器以查看哪种调度器效果最好通常会有所帮助。

在一张图上显示更多的学习率调度函数：

代码如下：

<code>import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def polynomial_decay_schedule(initial_lr: float, power: float, max_epochs: int = 100) -> np.ndarray:

"""

Generate a polynomial decay learning rate schedule.

Args:

initial_lr: The initial learning rate.

power: The power of the polynomial.

max_epochs: The maximum number of epochs.

Returns:

An array of learning rates for each epoch.

"""

epochs = np.arange(max_epochs)

lr = initial_lr * ((1 - (epochs / max_epochs)) ** power)

return lr

def natural_exp_decay_schedule(initial_lr: float, decay_rate: float, max_epochs: int = 100) -> np.ndarray:

"""

Generate a natural exponential decay learning rate schedule.

Args:

initial_lr: The initial learning rate.

decay_rate: The decay rate.

max_epochs: The maximum number of epochs.

Returns:

An array of learning rates for each epoch.

"""

epochs = np.arange(max_epochs)

lr = initial_lr * np.exp(-decay_rate * epochs)

return lr

def staircase_exp_decay_schedule(initial_lr: float, decay_rate: float, step_size: int, max_epochs: int = 100) -> np.ndarray:

"""

Generate a staircase exponential decay learning rate schedule.

Args:

initial_lr: The initial learning rate.

decay_rate: The decay rate.

step_size: The step size.

max_epochs: The maximum number of epochs.

Returns:

An array of learning rates for each epoch.

"""

epochs = np.arange(max_epochs)

lr = initial_lr * np.exp(-decay_rate * np.floor((1 + epochs) / step_size))

return lr

def step_decay_schedule(initial_lr: float, decay_factor: float, step_size: int, max_epochs: int = 100) -> np.ndarray:

"""

Generate a step decay learning rate schedule.

Args:

initial_lr: The initial learning rate.

decay_factor: The decay factor.

step_size: The step size.

max_epochs: The maximum number of epochs.

Returns:

An array of learning rates for each epoch.

"""

epochs = np.arange(max_epochs)

lr = initial_lr * (decay_factor ** np.floor((1 + epochs) / step_size))

return lr

def cosine_annealing_schedule(lr_min: float, lr_max: float, max_epochs: int = 100) -> np.ndarray:

"""

Generate a cosine annealing learning rate schedule.

Args:

lr_min: The minimum learning rate.

lr_max: The maximum learning rate.

max_epochs: The maximum number of epochs.

Returns:

An array of learning rates for each epoch.

"""

epochs = np.arange(max_epochs)

lr = lr_min + 0.5 * (lr_max - lr_min) * (1 + np.cos(epochs / max_epochs * np.pi))

return lr

def exponential_decay_schedule(initial_lr: float, decay_rate: float, max_epochs: int = 100) -> np.ndarray:

"""

Generate an exponential decay learning rate schedule.

Args:

initial_lr: The initial learning rate.

decay_rate: The decay rate.

max_epochs: The maximum number of epochs.

Returns:

An array of learning rates for each epoch.

"""

epochs = np.arange(max_epochs)

lr = initial_lr * np.exp(-decay_rate * epochs)

return lr

# Define the learning rate schedules

schedules = {

"Step Decay": step_decay_schedule(initial_lr=1.0, decay_factor=0.5, step_size=10),

"Exponential Decay": exponential_decay_schedule(initial_lr=1.0, decay_rate=0.05),

"Cosine Annealing": cosine_annealing_schedule(lr_min=0.01, lr_max=1.0),

"Polynomial Decay": polynomial_decay_schedule(initial_lr=1.0, power=2),

"Natural Exp. Decay": natural_exp_decay_schedule(initial_lr=1.0, decay_rate=0.05),

"Staircase Exp. Decay": staircase_exp_decay_schedule(initial_lr=1.0, decay_rate=0.05, step_size=10),

}

# Define a color palette

colors = ['b', 'g', 'r', 'c', 'm', 'y']

# Plot with defined colors

plt.figure(figsize=(15, 10))

for color, (schedule_name, schedule) in zip(colors, schedules.items()):

plt.plot(schedule, label=schedule_name, color=color)

plt.title('Learning Rate Schedules', fontsize=20)

plt.ylabel('Learning Rate', fontsize=15)

plt.xlabel('Epoch', fontsize=15)

plt.grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.6)code>

plt.minorticks_on()

plt.legend(prop={'size': 12})

plt.show()