1、前言

本文将讲近些年来挺火的一个生成模型 G A N 生成对抗网络 \boxed{\mathbf{GAN生成对抗网络}} GAN生成对抗网络​，其特殊的思路解法实在让人啧啧称奇。

数学基础：【概率论与数理统计知识复习-哔哩哔哩】

视频：【生成对抗网络GAN原理解析-哔哩哔哩】

2、原理

2.1、GAN的运行机理

在传统的生成模型中，我们总是对我们的训练数据（或观测变量和隐变量）进行建模，得到概率分布，然后进行数据的生成。可GAN却不是这样，其利用神经网络这个函数逼近器，求解出了模型中概率分布的参数 在不知道概率分布是什么的情况下 \boxed{在不知道概率分布是什么的情况下} 在不知道概率分布是什么的情况下​。

其主要思想是，从一个简单的概率分布中采样，得到样本经过神经网络变换，得到一个新的样本，我们就假设这个样本就来自我们需要求解的概率分布中。然后用神经网络去辨别其是来自真实分布，还是我们要求解的概率分布。

先来看模型图

我们的训练数据 x x x是来自真实分布 对应图中 P ( d a t a ) \boxed{\mathbf{对应图中P(data)}} 对应图中P(data)​，我们记作 P d a t a P_{data} Pdata​，训练数据都是从 P d a t a P_{data} Pdata​中采样得来（图中上半部分的x）。

而我们从简单的概率分布中抽样 P ( z ) P(z) P(z) 如正态分布 \boxed{\mathbf{如正态分布}} 如正态分布​，让所得的样本经过一个神经网络 G ( z ) G(z) G(z)，得到一个新的样本 x x x，这个样本就来自我们的需要求解的概率分布，我们记作 P g P_{g} Pg​。

然后将两个x给神经网络 D ( x ) D(x) D(x)判断真伪，让它区分这个x是来自 P d a t a P_{data} Pdata​还是 P g P_g Pg​，其输出样本来自 P d a t a P_{data} Pdata​的概率。依据所得信息使用梯度下降更新神经网络参数， G ( z ) G(z) G(z)也是如此。

而 G ( z ) G(z) G(z)被称为生成器 ( 用于生成样本 ) \boxed{\mathbf{(用于生成样本)}} (用于生成样本)​， D ( x ) D(x) D(x)被称为判别器 用于判别样本真伪 \boxed{\mathbf{用于判别样本真伪}} 用于判别样本真伪​。

2.2、目标函数

损失函数来自判别器和生成器 \boxed{\mathbf{损失函数来自判别器和生成器}} 损失函数来自判别器和生成器​

对于判别器 \boxed{对于判别器} 对于判别器​

当样本来自 P d a t a P_{data} Pdata​，我们要让所得的概率越大越好；当样本来自 p g p_g pg​，我们要让其概率越小越好，即

① max ⁡ D D ( x i ) ② min ⁡ D D ( G ( z i ) ) ①\max\limits_{D}D(x_i)\\ ②\min\limits_{D}D(G(z_i)) ①Dmax​D(xi​)②Dmin​D(G(zi​))

将最小化换成最大化

max ⁡ D [ 1 − D ( G ( z i ) ) ] \max\limits_{D}[1-D(G(z_i))] Dmax​[1−D(G(zi​))]

所以单个样本判别器的损失函数可以写成

max ⁡ D { D ( x i ) + [ 1 − D ( G ( z i ) ) ] } \max\limits_{D}\left\{D(x_i)+[1-D(G(z_i))]\right\} Dmax​{ D(xi​)+[1−D(G(zi​))]}

对于所有样本N，我们希望均值最大

max ⁡ D { 1 N ∑ i = 1 N D ( x i ) + 1 N ∑ i = 1 N [ 1 − D ( G ( z i ) ) ] } \max_D\left\{\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^ND(x_i)+\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N[1-D(G(z_i))]\right\} Dmax​{ N1​i=1∑N​D(xi​)+N1​i=1∑N​[1−D(G(zi​))]}

写成期望形式（并取log最大 不改变最大值 \boxed{不改变最大值} 不改变最大值​），得到判别器的损失函数（ x ∼ p d a t a x\sim p_{data} x∼pdata​表示样本来自真实分布， P z P_z Pz​表示正态分布）

max ⁡ D { E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D ( x ) ] + E z ∼ P z [ log ⁡ ( 1 − D ( G ( z ) ) ) ] } \boxed{\max\limits_{D}\left\{\mathbb{E}_{x\sim p_{data}}\left[\log D(x)\right]+\mathbb{E}_{z\sim P_z}\left[\log(1-D(G(z)))\right]\right\}} Dmax​{ Ex∼pdata​​[logD(x)]+Ez∼Pz​​[log(1−D(G(z)))]}​

接着，我们在上面讲到过，G(z)表示的是，采用一个z，经过一个神经网络，得到一个伪造出来的x。这个伪造的x服从分布 P g P_g Pg​。那么我们就可以把第二个期望改写成x的表达式，于是便可得到

max ⁡ D { E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D ( x ) ] + E x ∼ P g [ log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) ] } \boxed{\max\limits_{D}\left\{\mathbb{E}_{x\sim p_{data}}\left[\log D(x)\right]+\mathbb{E}_{x\sim P_g}\left[\log(1-D(x))\right]\right\}} Dmax​{ Ex∼pdata​​[logD(x)]+Ex∼Pg​​[log(1−D(x))]}​

对于生成器 \boxed{对于生成器} 对于生成器​

它希望生成的样本让判别器判别为真的概率越大越好，所以直接设计成（将最大写成最小）

min ⁡ G E x ∼ P g [ log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) ] \boxed{\min\limits_{G}\mathbb{E}_{x\sim P_g}\left[\log(1-D(x))\right]} Gmin​Ex∼Pg​​[log(1−D(x))]​

所以最终的目标函数可以写成

min ⁡ G max ⁡ D { E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D ( x ) ] + E x ∼ P g [ log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) ] } \min\limits_{G}\max\limits_{D}\left\{\mathbb{E}_{x\sim p_{data}}\left[\log D(x)\right]+\mathbb{E}_{x\sim P_g}\left[\log(1-D(x))\right]\right\} Gmin​Dmax​{ Ex∼pdata​​[logD(x)]+Ex∼Pg​​[log(1−D(x))]}

3、最优解求解

得到了目标函数，我们很显然还需要证明其存在最优解。并且最优解的 P g P_g Pg​是否和 P d a t a P_{data} Pdata​无限接近

先求里层（关于 D 求最大） \boxed{先求里层（关于D求最大）} 先求里层（关于D求最大）​

E x ∼ p d a t a [ log ⁡ D ( x ) ] + E x ∼ P g [ log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) ] = ∫ x log ⁡ D ( x ) P d a t a ( x ) d x + ∫ x log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) P g ( x ) d x = ∫ x [ log ⁡ D ( x ) P d a t a ( x ) + log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) P g ( x ) ] d x \begin{aligned} &\mathbb{E}_{x\sim p_{data}}\left[\log D(x)\right]+\mathbb{E}_{x\sim P_g}\left[\log(1-D(x))\right] \\=&\int_x\log D(x)P_{data}(x)dx+\int_x\log(1-D(x))P_g(x)dx \\=&\int_x\left[\log D(x)P_{data}(x)+\log(1-D(x))P_g(x)\right]dx \end{aligned} ==​Ex∼pdata​​[logD(x)]+Ex∼Pg​​[log(1−D(x))]∫x​logD(x)Pdata​(x)dx+∫x​log(1−D(x))Pg​(x)dx∫x​[logD(x)Pdata​(x)+log(1−D(x))Pg​(x)]dx​

要求积分最大，就是要求里面的每一个最大

max ⁡ D [ log ⁡ D ( x ) P d a t a ( x ) + log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) P g ( x ) ] \max_D \left[{\log D(x)P_{data}(x)+\log(1-D(x))P_g(x)}\right] Dmax​[logD(x)Pdata​(x)+log(1−D(x))Pg​(x)]

求导

∂ ∂ D l o g D ( x ) P d a t a ( x ) + log ⁡ ( 1 − D ( x ) ) P g ( x ) = 1 D ( x ) P d a t a ( x ) − 1 1 − D ( x ) P g ( x ) \begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial D}{log D(x)P_{data}(x)+\log(1-D(x))P_g(x)} \\=&\frac{1}{D(x)}P_{data}(x)-\frac{1}{1-D(x)}P_g(x) \end{aligned} =​∂D∂​logD(x)Pdata​(x)+log(1−D(x))Pg​(x)D(x)1​Pdata​(x)−1−D(x)1​Pg​(x)​

整理得

D ( x ) = P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) \boxed{D(x)=\frac{P_{data}(x)}{P_{g}(x)+P_{data}(x)}} D(x)=Pg​(x)+Pdata​(x)Pdata​(x)​​

将其代入目标函数，并且关于外层 G 求最小 \boxed{将其代入目标函数，并且关于外层G求最小} 将其代入目标函数，并且关于外层G求最小​

min ⁡ G ∫ x [ log ⁡ P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) P d a t a ( x ) + log ⁡ ( 1 − P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) ) P g ( x ) ] d x = min ⁡ G [ ∫ x log ⁡ ( P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ∗ 1 2 ) P d a t a ( x ) d x + ∫ x log ⁡ ( P g ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ∗ 1 2 ) P g ( x ) d x ] = min ⁡ G [ ∫ x log ⁡ ( P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P d a t a ( x ) d x + ∫ x log ⁡ ( P g ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P g ( x ) d x + ∫ log ⁡ 1 2 P d a t a ( x ) d x + ∫ log ⁡ 1 2 P g ( x ) d x ] = min ⁡ G [ ∫ x log ⁡ ( P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P d a t a ( x ) d x + ∫ x log ⁡ ( P g ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P g ( x ) d x + log ⁡ 1 2 ∫ P d a t a ( x ) d x + log ⁡ 1 2 ∫ P g ( x ) d x ] = min ⁡ G [ ∫ x log ⁡ ( P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P d a t a ( x ) d x + ∫ x log ⁡ ( P g ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P g ( x ) d x + log ⁡ 1 2 + log ⁡ 1 2 ] = min ⁡ G [ ∫ x log ⁡ ( P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P d a t a ( x ) d x + ∫ x log ⁡ ( P g ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) 2 ) P g ( x ) d x + log ⁡ 1 4 ] = min ⁡ G K L ( P d a t a ( x ) ∣ ∣ P d a t a ( x ) + P g ( x ) 2 ) + K L ( P g ( x ) ∣ ∣ P d a t a ( x ) + P g ( x ) 2 ) − log ⁡ 4 \begin{aligned} &\min_G \int_x\left[{\log \frac{P_{data}(x)}{P_{g}(x)+P_{data}(x)}P_{data}(x)+\log(1-\frac{P_{data}(x)}{P_{g}(x)+P_{data}(x)})P_g(x)}\right]dx \\=&\min\limits_{G}\left[\int_x\log\left(\frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{g}(x)+P_{data}(x)}{2}}*\frac{1}{2}\right)P_{data}(x)dx+\int_x\log\left(\frac{P_g(x)}{\frac{P_g(x)+P_{data}(x)}{2}}*\frac{1}{2}\right)P_g(x)dx\right] \\=&\min\limits_{G}\left[\int_x\log\left(\frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{g}(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_{data}(x)dx+\int_x\log\left(\frac{P_g(x)}{\frac{P_g(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_g(x)dx+\int \log\frac{1}{2}P_{data}(x)dx+\int\log\frac{1}{2}P_{g}(x)dx\right]\\=&\min\limits_{G}\left[\int_x\log\left(\frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{g}(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_{data}(x)dx+\int_x\log\left(\frac{P_g(x)}{\frac{P_g(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_g(x)dx+\log\frac{1}{2}\int P_{data}(x)dx+\log\frac{1}{2}\int P_{g}(x)dx\right]\\=&\min\limits_{G}\left[\int_x\log\left(\frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{g}(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_{data}(x)dx+\int_x\log\left(\frac{P_g(x)}{\frac{P_g(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_g(x)dx+\log\frac{1}{2}+\log\frac{1}{2}\right]\\=&\min\limits_{G}\left[\int_x\log\left(\frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{g}(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_{data}(x)dx+\int_x\log\left(\frac{P_g(x)}{\frac{P_g(x)+P_{data}(x)}{2}}\right)P_g(x)dx+\log\frac{1}{4}\right] \\=&\min\limits_{G}KL\left(P_{data}(x)||\frac{P_{data}(x)+P_{g}(x)}{2}\right)+KL\left(P_{g}(x)||\frac{P_{data}(x)+P_{g}(x)}{2}\right)-\log4 \end{aligned} ======​Gmin​∫x​[logPg​(x)+Pdata​(x)Pdata​(x)​Pdata​(x)+log(1−Pg​(x)+Pdata​(x)Pdata​(x)​)Pg​(x)]dxGmin​[∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pdata​(x)​∗21​)Pdata​(x)dx+∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pg​(x)​∗21​)Pg​(x)dx]Gmin​[∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pdata​(x)​)Pdata​(x)dx+∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pg​(x)​)Pg​(x)dx+∫log21​Pdata​(x)dx+∫log21​Pg​(x)dx]Gmin​[∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pdata​(x)​)Pdata​(x)dx+∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pg​(x)​)Pg​(x)dx+log21​∫Pdata​(x)dx+log21​∫Pg​(x)dx]Gmin​[∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pdata​(x)​)Pdata​(x)dx+∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pg​(x)​)Pg​(x)dx+log21​+log21​]Gmin​[∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pdata​(x)​)Pdata​(x)dx+∫x​log(2Pg​(x)+Pdata​(x)​Pg​(x)​)Pg​(x)dx+log41​]Gmin​KL(Pdata​(x)∣∣2Pdata​(x)+Pg​(x)​)+KL(Pg​(x)∣∣2Pdata​(x)+Pg​(x)​)−log4​

K L ( p ∣ ∣ q ) = ∫ x p log ⁡ p q d x KL(p||q)=\int_xp\log\frac{p}{q}dx KL(p∣∣q)=∫x​plogqp​dx，KL散度是衡量概率分布 p p p和 q q q的相似程度，其大于等于0，当其相似程度一样时，则散度为0，也就是我们要求的最小值。

小补充 \boxed{小补充} 小补充​

2 J S ( P d a t a ( x ) ∣ ∣ P g ( x ) ) = K L ( P d a t a ( x ) ∣ ∣ P d a t a ( x ) + P g ( x ) 2 ) + K L ( P g ( x ) ∣ ∣ P d a t a ( x ) + P g ( x ) 2 ) \boxed{\mathbf{2JS\left(P_{data}(x)||P_g(x)\right)=KL\left(P_{data}(x)||\frac{P_{data}(x)+P_{g}(x)}{2}\right)+KL\left(P_{g}(x)||\frac{P_{data}(x)+P_{g}(x)}{2}\right)}} 2JS(Pdata​(x)∣∣Pg​(x))=KL(Pdata​(x)∣∣2Pdata​(x)+Pg​(x)​)+KL(Pg​(x)∣∣2Pdata​(x)+Pg​(x)​)​

J S ( p ∣ ∣ q ) JS(p||q) JS(p∣∣q)被称为JS散度，其仍然是大于等于0的。所以是一样的。

所以

P d a t a ( x ) = P g ( x ) + P d a t a 2 → P d a t a = P g ( x ) P_{data}(x)=\frac{P_g(x)+P_{data}}{2} \rightarrow P_{data}=P_g(x) Pdata​(x)=2Pg​(x)+Pdata​​→Pdata​=Pg​(x)

由此可见，目标函数最优值能够让 P g 逼近 P d a t a \boxed{\mathbb{由此可见，目标函数最优值能够让P_g 逼近P_{data}}} 由此可见，目标函数最优值能够让Pg​逼近Pdata​​，并且当其相等时，有

D ( x ) = P d a t a ( x ) P g ( x ) + P d a t a ( x ) = 1 2 \boxed{D(x)=\frac{P_{data}(x)}{P_{g}(x)+P_{data}(x)}}=\frac{1}{2} D(x)=Pg​(x)+Pdata​(x)Pdata​(x)​​=21​

也就是判别器再也无法判断出样本是来自 P d a t a P_{data} Pdata​还是 P g P_g Pg​

4、代码实现

结果如下

​ 效果一般，在其他变种优化有很多比这个好的，感兴趣的读者自行查阅。

import torchfrom torchvision.datasets import MNISTfrom torchvision import transformsfrom torch.utils.data import DataLoaderfrom tqdm import tqdmimport matplotlib.pyplot as pltclass Generate_Model(torch.nn.Module): ''' 生成器 ''' def __init__(self): super().__init__() self.fc=torch.nn.Sequential( torch.nn.Linear(in_features=128,out_features=256), torch.nn.Tanh(), torch.nn.Linear(in_features=256,out_features=512), torch.nn.ReLU(), torch.nn.Linear(in_features=512,out_features=784), torch.nn.Tanh() ) def forward(self,x): x=self.fc(x) return xclass Distinguish_Model(torch.nn.Module): ''' 判别器 ''' def __init__(self): super().__init__() self.fc=torch.nn.Sequential( torch.nn.Linear(in_features=784,out_features=512), torch.nn.Tanh(), torch.nn.Linear(in_features=512,out_features=256), torch.nn.Tanh(), torch.nn.Linear(in_features=256,out_features=128), torch.nn.Tanh(), torch.nn.Linear(in_features=128,out_features=1), torch.nn.Sigmoid() ) def forward(self,x): x=self.fc(x) return xdef train(): device=torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu") #判断是否存在可用GPU transformer = transforms.Compose([ transforms.ToTensor(), transforms.Normalize(mean=0.5, std=0.5) ]) #图片标准化 train_data = MNIST("./data", transform=transformer,download=True) #载入图片 dataloader = DataLoader(train_data, batch_size=64,num_workers=4, shuffle=True) #将图片放入数据加载器 D = Distinguish_Model().to(device) #实例化判别器 G = Generate_Model().to(device) #实例化生成器 D_optim = torch.optim.Adam(D.parameters(), lr=1e-4) #为判别器设置优化器 G_optim = torch.optim.Adam(G.parameters(), lr=1e-4) #为生成器设置优化器 loss_fn = torch.nn.BCELoss() #损失函数 epochs = 100 #迭代100次 for epoch in range(epochs): dis_loss_all=0 #记录判别器损失损失 gen_loss_all=0 #记录生成器损失 loader_len=len(dataloader) #数据加载器长度 for step,data in tqdm(enumerate(dataloader), desc="第{}轮".format(epoch),total=loader_len): # 先计算判别器损失 sample,label=data #获取样本，舍弃标签 sample = sample.reshape(-1, 784).to(device) #重塑图片 sample_shape = sample.shape[0] #获取批次数量 #从正态分布中抽样 sample_z = torch.normal(0, 1, size=(sample_shape, 128),device=device) Dis_true = D(sample) #判别器判别真样本 true_loss = loss_fn(Dis_true, torch.ones_like(Dis_true)) #计算损失 fake_sample = G(sample_z) #生成器通过正态分布抽样生成数据 Dis_fake = D(fake_sample.detach()) #判别器判别伪样本 fake_loss = loss_fn(Dis_fake, torch.zeros_like(Dis_fake)) #计算损失 Dis_loss = true_loss + fake_loss #真假加起来 D_optim.zero_grad() Dis_loss.backward() #反向传播 D_optim.step() # 生成器损失 Dis_G = D(fake_sample) #判别器判别 G_loss = loss_fn(Dis_G, torch.ones_like(Dis_G)) #计算损失 G_optim.zero_grad() G_loss.backward() #反向传播 G_optim.step() with torch.no_grad(): dis_loss_all+=Dis_loss #判别器累加损失 gen_loss_all+=G_loss #生成器累加损失 with torch.no_grad(): dis_loss_all=dis_loss_all/loader_len gen_loss_all=gen_loss_all/loader_len print("判别器损失为：{}".format(dis_loss_all)) print("生成器损失为：{}".format(gen_loss_all)) torch.save(G, "./model/G.pth") #保存模型 torch.save(D, "./model/D.pth") #保存模型if __name__ == '__main__': # train() #训练模型 model_G=torch.load("./model/G.pth",map_location=torch.device("cpu")) #载入模型 fake_z=torch.normal(0,1,size=(10,128)) #抽样数据 result=model_G(fake_z).reshape(-1,28,28) #生成数据 result=result.detach().numpy() #绘制 for i in range(10): plt.subplot(2,5,i+1) plt.imshow(result[i]) plt.gray() plt.show()

5、结束

以上，就是GAN生成对抗网络的全部内容了，如有问题，还望指出。阿里嘎多