作者：非妃是公主

专栏：《智能优化算法》

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个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

文章目录

专栏推荐序一、概论二、物理退火1. 加温过程2. 等温过程3. 降温过程

三、模拟退火原理四、模拟退火的优点五、算法具体流程1. 整体流程2. 细节处理Ⅰ. 状态产生函数Ⅱ. 初始温度Ⅲ. 退温函数Ⅳ. Markov 链长度Ⅴ. 算法终止准则

六、仿真实例：模拟退火求解函数最小值1. 题目2. 分析3. matlab求解4. 求解结果及分析

七、模拟退火的一些改进方向the end……

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序

对于一个问题，解决他的第一步是建立模型，利用数学的方法，将问题抽象成一个数学模型（可能是一个函数，一个算法，一个方程……）。第二步，就是对这个问题进行求解，也叫做模型求解。

但对于模型求解来讲，不同的模型有着不同大小的难度。传统的算法，比如梯度下降，很可能会陷入局部最优解等问题，对于更加全局性的最优解搜索，智能优化算法有着很好的效果。而模拟退火算法，就是智能优化算法中的一种，有着很好的效果。

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Metropolis等人于 1953 年提出。1983 年Kirkpatrick等人第一次使用模拟退火算法求解组合优化问题后，它就发表在了 Science 上。¹直到今天，它依然被广泛使用，这篇文章将详细介绍模拟退火算法的基本原理，以及matlab的代码实现。

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一、概论

模拟退火算法其实就是一个类似于仿生学的算法，模仿的就是物理退火的过程。我们炼钢的时候，如果我们急速冷凝，这时候的状态是不稳定的，原子间杂乱无章的排序，能量很高。而如果我们让钢水慢慢冷凝，很缓慢的降温，那么这个时候的状态就是很稳定的，各个分子都趋向于自己能量最低的位置。

而模拟退火算法，恰恰就是利用了物理退火这一过程的原理，求解一个优化目标（目标函数）的最小值。

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二、物理退火

如果想说清楚模拟退火，必然绕不过物理退火！

1. 加温过程

增强粒子热运动，使其偏离平衡位置。当温度足够高时，固体将溶解为液体，从而消除系统原先可能存在的非均匀态，使随后进行的冷却过程以某一平衡态为起点。溶解过程于系统的能量增大过程相联系，系统能量也随温度的升高而增大。

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2. 等温过程

通过物理学知识得知，对于与周围环境交换热量而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝着自由能降低的方向进行；当自由能达到最低时，系统达到平衡态。

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3. 降温过程

随着温度降低，分子热运动减弱，趋向有序，系统能量逐渐降低，从而得到了低能量的晶体结构。

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三、模拟退火原理

而模拟退火算法，就是要通过如上3个部分的操作，获得低能量的晶体结构（最优解）。

物理退火与模拟退火中的各个状态对应如下：

物理退火	模拟退火
粒子状态	每个状态对应一个（可行）解
能量最低态	最优解
溶解过程	设定初温（设定参数T的值）
等温过程	一个温度下，多次采样（Metropolis采样过程）
冷却	控制参数下降
能量	目标函数

主要思想，在搜索区间进行随机游走（通过生成随机数实现），再利用Metropolis抽样准则，使随机游走逐渐收敛于局部最优解。在这里，温度是一个重要的控制参数，这个参数的大小控制了随机过程向局部或全局最优解移动的快慢。具体的过程如下。

首先，定义一个

p

p

p：

p

=

e

−

E

2

−

E

1

T

p=e^{-\frac{E_2-E_1}{T}}

p=e−TE2​−E1​​

这个公式表示，系统从

E

1

E_1

E1​变化到

E

2

E_2

E2​，其概率为

p

p

p，就是上述公式左边的部分。

如果

E

2

<

E

1

E_2<E_1

E2​<E1​，那么证明系统向更低的方向转移了，我们无条件接受此状态。

否则，以上述的概率，接受这个较坏的结果

E

2

E_2

E2​。注意，这里的原则，不同于贪心，每次选择最好的，而是有一定的概率接受坏一些的。（这个概率受到能量差和温度两个因素的影响）

p

(

1

→

2

)

=

{

1

E

2

<

E

1

e

−

E

2

−

E

1

T

E

2

>

E

1

p(1\rightarrow2)= \begin{cases} 1& E_2<E_1\\ e^{-\frac{E_2-E_1}{T}}& E_2>E_1 \end{cases}

p(1→2)={ 1e−TE2​−E1​​​E2​<E1​E2​>E1​​

这样通过一定的迭代次数，我们就会找到一个比较好的解了。

---

四、模拟退火的优点

总结一下模拟退火的优点如下：

以一定的概率接受恶化解。看似在接受恶化解，其实是寻找了全局最优解。引进算法控制参数——温度。温度的引进，使得算法更加智能、灵活。在前期，进行跳跃搜索，更容易跳出局部最优解，提高搜索的全局性。在后期，进行幅度较小的搜索，更容易收敛。对目标函数要求少。模拟退火算法其实是一种搜索或者说枚举的方法，我们经过大量的实验，最终得到最优解（或者一定程度上的较优解）。由于这种做法，因此对目标函数的要求很低。不需要依赖什么，直接猜就好。

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五、算法具体流程

学习的过程是广度优先，层层深入的，前面大致了解了模拟退火算法的原理及思想，下面我们看一看模拟退火算法的具体算法流程。

---

1. 整体流程

初始化温度

T

0

T_0

T0​，初始解状态

X

0

X_0

X0​（算法迭代起点）、每个

T

T

T值的迭代次数

L

L

L（也叫做Markov 链长度，就是在同一个温度下，我们猜测的次数）。对

k

=

1

,

…

,

L

k=1, …, L

k=1,…,L做第（3）至第（6）步；产生新解

X

′

X'

X′；计算增量

Δ

E

=

E

(

X

′

)

−

E

(

X

)

ΔE=E(X')-E(X)

ΔE=E(X′)−E(X)，其中

E

(

X

)

E(X)

E(X)为评价函数（越低越好）；若

Δ

E

＜

0

ΔE＜0

ΔE＜0，则接受

X

′

X'

X′作为新的当前解，否则以概率

e

−

Δ

E

T

e^{\frac{-ΔE}{T}}

eT−ΔE​接受

X

′

X'

X′作为新的当前解；如果满足终止条件，则输出当前解为最优解，结束程序；

T

T

T逐渐减小，且

T

→

0

T\rightarrow 0

T→0，然后转第 2 步。

流程图如下：

---

2. 细节处理

Ⅰ. 状态产生函数

主要就是通过在邻域内随机进行选择产生的。

---

Ⅱ. 初始温度

初始温度对于算法的影响较大，而且效果的好坏与求解问题的求解空间有关。初温越大，获得高质量解的可能性越高，但是相应的时间也就越长，具体可以在此处进行取舍。

一种很好的做法是，可以均匀抽样一组状态，以各状态目标值的方差作为初温。

这样，如果方差越大，证明该问题越有可能陷入到局部最优解（多峰型优化），因此初温较高，防止陷入。

如果方差很小，说明该问题不容易陷入局部最优(单峰型优化)，因此，初温较低，可以快速收敛。

---

Ⅲ. 退温函数

退温函数即温度更新函数，用于在外循环中修改温度值。目前，最常用的温度更新函数为指数退温函数，即

T

(

n

+

1

)

=

K

×

T

(

n

)

T(n+1)=K×T(n)

T(n+1)=K×T(n)，其中

0

＜

K

＜

1

0＜K＜1

0＜K＜1，

K

K

K为一个非常接近于1的常数。

---

Ⅳ. Markov 链长度

Markov 链长度是在等温条件下进行迭代优化的次数，其选取原则是在衰减参数

T

T

T 的衰减函数已选定的前提下，还要产生随机数的次数，一般 L 取100～1000。

---

Ⅴ. 算法终止准则

算法停止的条件。常用的有，温度降低到一定的阈值结束，迭代一定的次数后结束，最优值连续保持不变（或者变化值

<

δ

<\delta

<δ）时停止搜索。

---

六、仿真实例：模拟退火求解函数最小值

1. 题目

计算函数

f

(

x

)

=

∑

i

=

1

n

x

i

2

(

−

20

<

=

x

i

<

=

20

)

f(x)=\sum_{i=1}^n x_i^2 (-20<=x_i<=20)

f(x)=∑i=1n​xi2​(−20<=xi​<=20)的最小值，其中个体

x

x

x的维数为

n

=

10

n=10

n=10。

---

2. 分析

这时一个平方和函数，只有一个极小值

x

=

(

0

,

0

,

.

.

.

,

0

)

x=(0,0,...,0)

x=(0,0,...,0)，理论最小值

f

(

0

,

0

,

.

.

.

,

0

)

=

0

f(0,0,...,0)=0

f(0,0,...,0)=0。

Markov链长度初始化为

L

=

200

L=200

L=200，衰减参数设置为0.998，补偿因子为

S

=

0.01

S=0.01

S=0.01，初始温度

T

=

100

T=100

T=100，容差为

Y

Z

=

1

×

1

0

−

8

YZ=1\times 10^{-8}

YZ=1×10−8（用于判断结束条件，如果最优值连续变化小于

Y

Z

YZ

YZ，那么就终止搜索，输出这个较优解，其它参数上边都已经提到过了）；随机产生初始解，并计算目标函数值。

---

3. matlab求解

<code>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%模拟退火算法解决函数极值%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all; %清除所有变量

close all; %清图

clc; %清屏

D=10; %变量维数

Xs=20; %上限

Xx=-20; %下限

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%冷却表参数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

L = 200; %马可夫链长度

K = 0.998; %衰减参数

S = 0.01; %步长因子

T=100; %初始温度

YZ = 1e-8; %容差

P = 0; %Metropolis过程中总接受点

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%随机选点 初值设定%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

PreX = rand(D,1)*(Xs-Xx)+Xx;

PreBestX = PreX;

PreX = rand(D,1)*(Xs-Xx)+Xx;

BestX = PreX;

%%%%%%%%%%%每迭代一次退火一次(降温), 直到满足迭代条件为止%%%%%%%%%%%%

deta=abs(func1(BestX)-func1(PreBestX));

while (deta > YZ) && (T>0.001)

T=K*T;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%在当前温度T下迭代次数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

for i=1:L

%%%%%%%%%%%%%%%%%在此点附近随机选下一点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

NextX = (1 - S) * PreX + S * (rand(D,1) *(Xs-Xx)+Xx);

%%%%%%%%%%%%%%%%%边界条件处理%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

for ii=1:D

if NextX(ii)>Xs || NextX(ii)<Xx

NextX(ii)=rand *(Xs-Xx)+Xx;

end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%是否全局最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if (func1(BestX) > func1(NextX))

%%%%%%%%%%%%%%%%%%保留上一个最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

PreBestX = BestX;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%此为新的最优解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

BestX=NextX;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Metropolis过程%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if( func1(PreX) - func1(NextX) > 0 )

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%接受新解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

PreX=NextX;

P=P+1;

else

changer = -1*(func1(NextX)-func1(PreX))/ T ;

p1=exp(changer);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%接受较差的解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if p1 > rand

PreX=NextX;

P=P+1;

end

end

trace(P+1) = func1(BestX);

end

deta = abs(func1(BestX) - func1(PreBestX));

end

disp('最小值在点:');

BestX

disp( '最小值为:');

func1(BestX)

figure

plot(trace(2:end))

xlabel('迭代次数')

ylabel('目标函数值')

title('最优解变化曲线')

其中，目标函数（适应度函数）fun1的定义如下：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%适应度函数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function result=func1(x)

summ=sum(x.^2);

result=summ;

---

4. 求解结果及分析

求解的适应度变化曲线如下：

可以看到，随着迭代次数的增加，目标函数值下降速度还是很快的，说明算法收敛速度较好。

最终搜索结果如下：

可以看到，我们在理论最优解 0 附近找到了近似最优解 0.0056，求解效果还是不错的。

继续运行代码，求解结果如下：

可以看到求解过程以及最终的结果都不太相同，因此，对于模拟退火这种启发式智能优化算法，求解结果是有一定随机性的。但是，会随着迭代次数的增加，越发趋于稳定。

---

七、模拟退火的一些改进方向

增加记忆功能增加升温或重升温过程。对每一当前状态，采用多次搜索策略，以概率接受区域内的最优状态，而不是标准模拟退火算法的单次比较方式。与其他搜索机制的算法（如遗传算法、免疫算法等）相结合。可以综合其他方法的优点，提高运行效率和求解质量。²

---

the end……

模拟退火算法到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！

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Kirkpatrick S,Gelatt C,Vecchi M.Optimization by simulated Anealing.Science,1983(220):671-680. ↩︎

包子阳,智能优化算法及其matlab实例.电子工业出版社. ↩︎