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系列文章目录前言一、如何评估拟合优度二、拟合优度统计2.1 SSE - 误差引起的平方和2.2 R 平方2.3 自由度调整 R 平方2.4 均方根误差

三、MATLAB - 评估曲线拟合度3.1 加载数据并拟合多项式曲线3.2 绘制拟合方程、数据、残差和预测范围图3.3 评估指定点3的拟合效果3.4 评估多点拟合值3.5 获取模型方程3.6 获取系数名称和数值3.7 获取系数的置信区间3.8 检查拟合优度统计3.9 绘制拟合图、数据图和残差图3.10 查找方法

四、MATLAB 代码

前言

一、如何评估拟合优度

用一个或多个模型拟合数据后，您应该评估拟合的好坏。第一步应该是目测 "曲线拟合器 "应用程序中显示的拟合曲线。除此之外，工具箱还提供了这些方法来评估线性和非线性参数拟合的拟合优度：

拟合优度统计

残差分析

置信度和预测边界

正如统计文献中常见的那样，"拟合优度 "一词在这里有多种含义： 一个 "拟合良好 "的模型可能是

根据最小二乘法拟合的假设，您的数据可以合理地来自该模型

模型系数的估计不确定性很小

能解释数据中很大一部分变异性，并能很有把握地预测新的观测结果。

特定应用可能还要求模型拟合的其他方面，这些方面对于实现良好拟合也很重要，例如一个易于解释的简单模型。本文介绍的方法可以帮助您确定所有这些意义上的拟合优度。

这些方法分为两类：图解法和数值法。绘制残差和预测边界是图形方法，有助于直观解释，而计算拟合优度统计量和系数置信区间则是数字方法，有助于统计推理。

一般来说，图形测量比数值测量更有优势，因为图形测量可以让您一次性查看整个数据集，而且可以轻松显示模型与数据之间的各种关系。而数值度量则更多地关注数据的某一特定方面，通常会试图将这些信息压缩成一个单一的数字。实际上，根据您的数据和分析要求，您可能需要使用这两种类型来确定最佳拟合。

请注意，根据这些方法，可能没有一种拟合适合您的数据。在这种情况下，您可能需要选择不同的模型。也有可能所有的拟合优度都表明某个拟合模型是合适的。但是，如果您的目标是提取具有物理意义的拟合系数，但您的模型并不能反映数据的物理特性，那么得出的系数就毫无用处。在这种情况下，了解数据代表什么以及如何测量数据与评估拟合度同样重要。

二、拟合优度统计

使用图形方法评估拟合优度后，应检查拟合优度统计量。曲线拟合工具箱™ 软件支持参数模型的拟合优度统计：

误差平方和 (SSE)

R 平方

误差自由度 (DFE)

调整后的 R 平方

均方根误差 (RMSE)

对于当前拟合，这些统计信息会显示在曲线拟合器应用程序的 "结果 "窗格中。对于当前曲线拟合会话中的所有拟合，可以在 "拟合表 "窗格中比较拟合优度统计量。

要在命令行下检查拟合优度统计，可以选择

在曲线拟合器应用程序中，将拟合结果和拟合优度导出至工作区。在 "曲线拟合器 "选项卡的 "导出 "部分，单击 "导出 "并选择 “导出到工作区”。

使用拟合函数指定 gof 输出参数。

2.1 SSE - 误差引起的平方和

该统计量用于衡量响应值与拟合响应值的总偏差。也称为残差平方和，通常标记为 SSE。

S

S

E

=

∑

i

=

1

n

w

i

(

y

i

−

y

^

i

)

2

S S E=\sum_{i=1}^{n}w_{i}(y_{i}-\widehat{y}_{i})^{2}

SSE=i=1∑n​wi​(yi​−y

​i​)2

数值越接近 0，表明模型的随机误差成分越小，拟合结果对预测越有用。

2.2 R 平方

该统计量衡量拟合在解释数据变化方面的成功程度。换一种说法，R 平方是响应值与预测响应值之间相关性的平方。它也被称为多重相关系数的平方和多重决定系数。

R 平方定义为回归平方和（SSR）与总平方和（SST）之比。SSR 的定义是

S

S

R

=

∑

i

=

1

n

w

i

(

y

^

i

−

y

ˉ

)

2

S S R=\sum_{i=1}^{n}w_{i}(\hat{y}_{i}-\bar{y})^{2}

SSR=i=1∑n​wi​(y^​i​−yˉ​)2

SST 也称为均值平方和，其定义为

S

S

T

=

∑

i

=

1

n

w

i

(

y

i

−

y

‾

)

2

{S S T}=\sum_{i=1}^{n}w_{i}(y_{i}-{\overline{ {y}}})^{2}

SST=i=1∑n​wi​(yi​−y​)2

其中，SST = SSR + SSE。根据这些定义，R 方表示为

R

−

s

q

u

a

r

e

=

S

S

R

S

S

T

=

1

−

S

S

E

S

S

T

\mathrm{R} \mathrm{ {-square}}={\frac{S S R}{SS T}}=1-{\frac{S S E}{S S T}}

R−square=SSTSSR​=1−SSTSSE​

R-square 的值可以在 0 和 1 之间任意取值，值越接近 1，说明模型解释的变异比例越大。例如，R 平方值为 0.8234 意味着拟合解释了平均值数据总变异的 82.34%。

如果增加模型中拟合系数的数量，虽然拟合效果在实际意义上可能没有改善，但 R 平方却会增加。为了避免这种情况，您应该使用下面描述的自由度调整 R 平方统计量。

请注意，对于不包含常数项的方程，R 平方有可能为负值。因为 R 平方被定义为拟合所解释的方差比例，如果拟合实际上比仅仅拟合一条水平线更差，那么 R 平方就是负值。在这种情况下，R 平方不能解释为相关性的平方。这种情况表明模型中应加入常数项。

2.3 自由度调整 R 平方

该统计量使用上文定义的 R 平方统计量，并根据残差自由度对其进行调整。残差自由度的定义是响应值 n 的数量减去根据响应值估计的拟合系数 m 的数量。

ν

=

n

−

m

\nu=n-m

ν=n−m

v 表示计算平方和所需的涉及 n 个数据点的独立信息的数量。请注意，如果参数是有界的，且一个或多个估计值处于其边界，则这些估计值被视为固定值。自由度随此类参数的数量而增加。

当比较两个嵌套模型时，调整后的 R 平方统计量通常是拟合质量的最佳指标。

a

d

j

u

s

t

e

d

R

−

s

q

u

a

r

e

=

1

−

S

S

E

(

n

−

1

)

S

S

T

(

ν

)

\mathrm{adjusted~R}\mathrm{-square}=1-\frac{S S E(n-1)}{S S T(\nu)}

adjusted R−square=1−SST(ν)SSE(n−1)​

调整后的 R 平方统计量可以是小于或等于 1 的任何数值，数值越接近 1 表示拟合度越高。当模型中包含的项无助于预测响应时，就会出现负值。

2.4 均方根误差

该统计量也称为拟合标准误差和回归标准误差。它是对数据中随机成分的标准偏差的估计，定义为

R

M

S

E

=

s

=

M

S

E

R M S E=s={\sqrt{M S E}}

RMSE=s=MSE

​

其中，MSE 是均方误差或残差均方

M

S

E

=

S

S

E

ν

M S E={\frac{S S E}{\nu}}

MSE=νSSE​

与 SSE 一样，MSE 值接近 0 表示拟合结果更有利于预测。

三、MATLAB - 评估曲线拟合度

本示例展示了如何进行曲线拟合。

3.1 加载数据并拟合多项式曲线

<code>load census

curvefit = fit(cdate,pop,'poly3','normalize','on')

curvefit =

Linear model Poly3:

curvefit(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4

where x is normalized by mean 1890 and std 62.05

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = 0.921 (-0.9743, 2.816)

p2 = 25.18 (23.57, 26.79)

p3 = 73.86 (70.33, 77.39)

p4 = 61.74 (59.69, 63.8)

输出结果显示拟合模型方程、拟合系数以及拟合系数的置信区间。

3.2 绘制拟合方程、数据、残差和预测范围图

plot(curvefit,cdate,pop)

绘制残差拟合图。

<code>plot(curvefit,cdate,pop,'Residuals')

绘制拟合预测范围图。

<code>plot(curvefit,cdate,pop,'predfunc')

3.3 评估指定点3的拟合效果

通过指定一个 x 值，在一个特定点上评估拟合结果，使用下面的表格：y = fittedmodel(x)。

<code>curvefit(1991)

ans = 252.6690

3.4 评估多点拟合值

评估模型的矢量值，以推断 2050 年的情况。

xi = (2000:10:2050).';

curvefit(xi)

ans = 6×1

276.9632

305.4420

335.5066

367.1802

400.4859

435.4468

获取这些值的预测范围。

ci = predint(curvefit,xi)

ci = 6×2

267.8589 286.0674

294.3070 316.5770

321.5924 349.4208

349.7275 384.6329

378.7255 422.2462

408.5919 462.3017

在外推法拟合范围内绘制拟合和预测区间图。默认情况下，拟合会在数据范围内绘制。要查看拟合后的外推值，请在绘制拟合之前将坐标轴的 x 上限设置为 2050。要绘制预测区间，请使用 predobs 或 predfun 作为绘图类型。

plot(cdate,pop,'o')

xlim([1900,2050])

hold on

plot(curvefit,'predobs')

hold off

3.5 获取模型方程

输入拟合名称可显示模型方程、拟合系数和拟合系数的置信区间。

<code>curvefit

curvefit =

Linear model Poly3:

curvefit(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4

where x is normalized by mean 1890 and std 62.05

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = 0.921 (-0.9743, 2.816)

p2 = 25.18 (23.57, 26.79)

p3 = 73.86 (70.33, 77.39)

p4 = 61.74 (59.69, 63.8)

如果只想获得模型方程，请使用公式。

formula(curvefit)

ans =

'p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4'

3.6 获取系数名称和数值

通过名称指定系数。

p1 = curvefit.p1

p1 = 0.9210

p2 = curvefit.p2

p2 = 25.1834

获取所有系数名称。查看拟合方程（例如，f(x) = p1*x^3+… ) 来查看每个系数的模型项。

coeffnames(curvefit)

ans = 4x1 cell

{ 'p1'}

{ 'p2'}

{ 'p3'}

{ 'p4'}

获取所有系数值。

coeffvalues(curvefit)

ans = 1×4

0.9210 25.1834 73.8598 61.7444

3.7 获取系数的置信区间

使用系数的置信界来帮助您评估和比较拟合。系数的置信区间决定了系数的准确性。界限相距甚远表示不确定性。如果线性系数的置信区间为零，这意味着您无法确定这些系数是否与零相差不大。如果某些模型项的系数为零，那么它们对拟合没有帮助。获取系数的置信区间

使用系数的置信界来帮助您评估和比较拟合。系数的置信区间决定了系数的准确性。界限相距甚远表示不确定性。如果线性系数的置信区间为零，这意味着您无法确定这些系数是否与零相差不大。如果某些模型项的系数为零，那么它们对拟合没有帮助。

confint(curvefit)

ans = 2×4

-0.9743 23.5736 70.3308 59.6907

2.8163 26.7931 77.3888 63.7981

3.8 检查拟合优度统计

要在命令行下获取拟合优度统计信息，您可以

打开曲线拟合器应用程序。在 "曲线拟合器 "选项卡的 "导出 "部分，单击 "导出 "并选择 “导出到工作区”，将拟合结果和拟合优度导出到工作区。

使用拟合函数指定 gof 输出参数。

重新创建拟合，指定 gof 和输出参数，以获取拟合优度统计信息和拟合算法信息。

[curvefit,gof,output] = fit(cdate,pop,'poly3','normalize','on')

curvefit =

Linear model Poly3:

curvefit(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4

where x is normalized by mean 1890 and std 62.05

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = 0.921 (-0.9743, 2.816)

p2 = 25.18 (23.57, 26.79)

p3 = 73.86 (70.33, 77.39)

p4 = 61.74 (59.69, 63.8)

gof = struct with fields:

sse: 149.7687

rsquare: 0.9988

dfe: 17

adjrsquare: 0.9986

rmse: 2.9682

output = struct with fields:

numobs: 21

numparam: 4

residuals: [21x1 double]

Jacobian: [21x4 double]

exitflag: 1

algorithm: 'QR factorization and solve'

iterations: 1

绘制残差直方图，寻找大致正态分布。

histogram(output.residuals,10)

3.9 绘制拟合图、数据图和残差图

<code>plot(curvefit,cdate,pop,'fit','residuals')

legend Location SouthWest

subplot(2,1,1)

legend Location NorthWest

3.10 查找方法

列出您可以使用的每种拟合的方法。

<code>methods(curvefit)

cfit 类的方法：

argnames category cfit coeffnames coeffvalues confint dependnames differentiate feval fitoptions formula indepnames integrate islinear numargs numcoeffs plot predint probnames probvalues setoptions type

有关如何使用拟合方法的更多信息，请参阅 cfit。有关如何使用拟合方法的更多信息，请参阅 cfit。

四、MATLAB 代码

贴一个计算 R 方的代码

function [r2 rmse] = rsquare(y,f,varargin)

% Compute coefficient of determination of data fit model and RMSE

%

% [r2 rmse] = rsquare(y,f)

% [r2 rmse] = rsquare(y,f,c)

%

% RSQUARE computes the coefficient of determination (R-square) value from

% actual data Y and model data F. The code uses a general version of

% R-square, based on comparing the variability of the estimation errors

% with the variability of the original values. RSQUARE also outputs the

% root mean squared error (RMSE) for the user's convenience.

%

% Note: RSQUARE ignores comparisons involving NaN values.

%

% INPUTS

% Y : Actual data

% F : Model fit

%

% OPTION

% C : Constant term in model

% R-square may be a questionable measure of fit when no

% constant term is included in the model.

% [DEFAULT] TRUE : Use traditional R-square computation

% FALSE : Uses alternate R-square computation for model

% without constant term [R2 = 1 - NORM(Y-F)/NORM(Y)]

%

% OUTPUT

% R2 : Coefficient of determination

% RMSE : Root mean squared error

%

% EXAMPLE

% x = 0:0.1:10;

% y = 2.*x + 1 + randn(size(x));

% p = polyfit(x,y,1);

% f = polyval(p,x);

% [r2 rmse] = rsquare(y,f);

% figure; plot(x,y,'b-');

% hold on; plot(x,f,'r-');

% title(strcat(['R2 = ' num2str(r2) '; RMSE = ' num2str(rmse)]))

%

% Jered R Wells

% 11/17/11

% jered [dot] wells [at] duke [dot] edu

%

% v1.2 (02/14/2012)

%

% Thanks to John D'Errico for useful comments and insight which has helped

% to improve this code. His code POLYFITN was consulted in the inclusion of

% the C-option (REF. File ID: #34765).

if isempty(varargin); c = true;

elseif length(varargin)>1; error 'Too many input arguments';

elseif ~islogical(varargin{ 1}); error 'C must be logical (TRUE||FALSE)'

else c = varargin{ 1};

end

% Compare inputs

if ~all(size(y)==size(f)); error 'Y and F must be the same size'; end

% Check for NaN

tmp = ~or(isnan(y),isnan(f));

y = y(tmp);

f = f(tmp);

if c; r2 = max(0,1 - sum((y(:)-f(:)).^2)/sum((y(:)-mean(y(:))).^2));

else r2 = 1 - sum((y(:)-f(:)).^2)/sum((y(:)).^2);

if r2<0

% http://web.maths.unsw.edu.au/~adelle/Garvan/Assays/GoodnessOfFit.html

warning('Consider adding a constant term to your model') %#ok<WNTAG>

r2 = 0;

end

end

rmse = sqrt(mean((y(:) - f(:)).^2));