一、线性拟合

  线性拟合

我随便设定一个函数然后通过解方程计算出对应的系数

假设我的函数原型是

y=a*sin(0.1*x.^2+x)+b* squre(x+1)+c*x+d

<code>clc;

clear;

x=0:0.2:10;

% 我们这里假设 a=3.2 b=0.7 c=5.0 d是一个随机

y=3.2*sin(0.1*x.^2+x)+0.7*sqrt(x+1)+5*x +rand(size(x));

plot(x,y,'*');

hold on ;

y1=sin(0.1*x.^2+x);

y2=sqrt(x+1);

y3=x;

y4=rand(size(x));

X=[y1;y2;y3;y4];%将各自的俩带入

P=X'\y' % 通过解方程计算出4个系数

yn=P(1)*y1+P(2)*y2+P(3)*y3+P(4)*y4; % 得到一个新的函数 计算得出的拟合Y的值

plot(x,yn,'r');

legend('原始数据点','红色曲线拟合值','Location','southoutside','Orientation','horizontal')

 拟合系数：

<code>clear;

clc;

close all

t=0:0.001:2*pi;%原函数

YS=sin(t);%基函数

N=21;

Yo=[];

for k=1:N

Yn=sawtooth(k*(t+pi/2),0.5);

Yo=[Yo,Yn'];

end

YS=YS';%拟合

a = Yo\YS;

%绘图

figure()

for k=1:N

clf

plot(t,Yo(:,1:k)*a(1:k,:),t,YS,'LineWidth',1)

ylim([-1.3,1.3])

xlim([0,6.3])

pause(0.1)

end

二、非线性拟合

利用matlab实现非线性拟合（三维、高维、参数方程）_matlab多元非线性拟合_hyhhyh21的博客-CSDN博客

上面的这位是真正的大佬，我们都是照猫画虎的学习。

1、一维

简单的一维的拟合：

思路： 将非线性-》线性：

eg:

 将其两边都取对数

用线性的方式计算出a b 

逆变换 ，画出曲线：

<code>clear

clc

close all

% 假设函数 为 y=a* exp(-bx)

x=0:0.1:5;

% 我们这里假设 a=2.4 b=1.2

a=2.4;

b=1.2;

y=a*exp(-b*x);%

y=y+1.3*y.*rand(size(y)); % 增加噪声

plot(x,y,'.');

hold on;

%Lg_y=Lg_a+b*(-x) 变成了ax+b 的形式 ，然而我们的最终的目的是通过x 来计算出a 和 b

% 对等式的两边取对数

lg_y=log(y);

y1=ones(size(x));

y2=-x;

% 同理和上面计算线性的一杨

X=[y1;y2];

P =X'\lg_y'

% 画出拟合后的曲线

a_fit=exp(P(1));

b_fit=P(2);

x2=0:0.01:10;

plot(x2,a_fit*exp(-b_fit*x2),'-','linewidth',1.5,'color','r')

Matlab 中的非线性拟合方法

1、fit 方法

fit是最常用，最经典的方法

<code>ft = fittype( 'a*x+b*sin(c*x).*exp(d*x)+e', 'independent', 'x', 'dependent', 'y' );; %函数的表达式，

OP1 = fitoptions( 'Method', 'NonlinearLeastSquares' );% 非线性拟合方法

OP1.StartPoint = 5*rand(1,5);%初始值，越靠近真实值越好

OP1.Lower = [-2, 0, 2, 0, 0];%参数的最小边界

OP1.Upper = [1, 3, 5, 2, 3];%参数的最大边界

% 开始拟合

fitobject = fit(x',y',ft,OP1);

Fit_P=ones(size(P));

Fit_P(1)=fitobject.a;

Fit_P(2)=fitobject.b;

Fit_P(3)=fitobject.c;

Fit_P(4)=fitobject.d;

Fit_P(5)=fitobject.e;

2、nlinfit()函数 Levenberg-Marquard

L-M 非线性迭代

% 2 用nlinfit()函数 Levenberg-Marquardt 

% 定义一个函数

Func=@(P,x)( P(1)*x+P(2)*sin(P(3)*x).*exp(P(4)*x)+P(5));% 也就是说定义一个函数模型

OP2 = statset('nlinfit');% 

%  x，y  modelfun是函数模型  beta表示的是初始值 ，我这里写成最进行的那个参数   OP2  拟合的方法

beta=[-0.17 2.1  3.0  0.25  2.0];% 初始值

Fit_P2 = nlinfit(x,y,Func,beta,OP2);

%拟合

fit_y2 = Fit_P2(1)*x1+Fit_P2(2)*sin(Fit_P2(3)*x1).*exp(Fit_P2(4)*x1)+Fit_P2(5);;

subplot(3,2,2)

hold on;

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y2,'-','linewidth',1.5,'color','r');

box on

%ylim(y_lim)

title('nlinfit函数')

3、信赖域法（trust region reflective）

信赖域法（trust region reflective）是通过Hessian 矩阵，逐步试探邻域内的最小化，来求解问题的。相比较之前的那些雅克比相关的方法，信赖域法会占用更多内存和速度，所以适用于中小规模的矩阵。

<code>

% 3 信赖区间 IsqNonLin()

func2=@(P)(P(1)*x+P(2)*sin(P(3)*x).*exp(P(4)*x)+P(5) -y);

% lsqnonlin方法

% 'Algorithm','trust-region-reflective' 算法是trust-region-reflective

% MaxFunctionEvaluations MaxFunctionEvaluations可以理解为试探的次数，

% 比如算法在一个点的四周试探了三个邻近点的值，然后确定下一步要往其中的某个点走，

% 这个时候FunctionEvaluations对应3次，即试探了3次，而Iteration是一次，即走了一步，完成了一步迭代

% MaxIterations 最大迭代次数

OP3=optimoptions(@lsqnonlin,'Algorithm','trust-region-reflective','MaxFunctionEvaluations',1e4,'MaxIterations',1e3);

%[-2, 0, 2, 0, 0];%参数的最小边界

%[1, 3, 5, 2, 3];%参数的最大边界

lower=[-2, 0, 2, 0, 0];

up=[1, 3, 5, 2, 3];

% 计算出系数

[Fit_P3,~]=lsqnonlin(func2,beta,lower,up,OP3);

fit_y3=Fit_P3(1)*x1+Fit_P3(2)*sin(Fit_P3(3)*x1).*exp(Fit_P3(4)*x1)+Fit_P3(5);

subplot(3,2,3);

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y3,'-','linewidth',1.5,'color','r')

hold off

box on

%ylim(y_lim)

title('lsqnonlin函数');

%4 lsqcurvefit()函数 trust-region-reflective

modelfun2 = @(p,x)(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5)) ;

OP4=optimoptions('lsqcurvefit','Algorithm','trust-region-reflective','MaxFunctionEvaluations',1e4,'MaxIterations',1e3);

%[-2, 0, 2, 0, 0];%参数的最小边界

%[1, 3, 5, 2, 3];%参数的最大边界

lower=[-2, 0, 2, 0, 0];

up=[1, 3, 5, 2, 3];

% 计算出系数

%[p,~] = lsqcurvefit(modelfun,p0,x,y,[-2,0,2,0,0],[1,3,5,3,3],OP4);

[Fit_P4,~]=lsqcurvefit(modelfun2,beta,x,y,lower,up,OP4);

fit_y4=Fit_P4(1)*x1+Fit_P4(2)*sin(Fit_P4(3)*x1).*exp(Fit_P4(4)*x1)+Fit_P4(5);

subplot(3,2,4);

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y4,'-','linewidth',1.5,'color','r')

hold off

box on

%ylim(y_lim)

title('lsqcurvefit函数');

4、fsolve()函数

默认的算法为trust-region-dogleg，属于信赖域法。

5、粒子群法

 所有代码：

<code>clear;

close all;

clc;

% 自定义一个非线性的函数 y=a*x+b*sin(c*x).*exp(d*x)+e 那将函数

x = 0:0.05:10;

P=[-0.2 2.4 3.4 0.3 1.7];

y = P(1)*x+P(2)*sin(P(3)*x).*exp(P(4)*x)+P(5);

y=y+0.5*randn(size(x)); % 添加噪声

figure();

% 1 .fit 函数开始拟合

ft = fittype( 'a*x+b*sin(c*x).*exp(d*x)+e', 'independent', 'x', 'dependent', 'y' );; %函数的表达式，

OP1 = fitoptions( 'Method', 'NonlinearLeastSquares' );% 非线性拟合方法

%OP1.StartPoint = 5*rand(1,5);%初始值，越靠近真实值越好

OP1.StartPoint = [-0.17 2.1 3.0 0.25 2.0];

OP1.Lower = [-2, 0, 2, 0, 0];%参数的最小边界

OP1.Upper = [1, 3, 5, 2, 3];%参数的最大边界

% 开始拟合

fitobject = fit(x',y',ft,OP1);

Fit_P=ones(size(P));

Fit_P(1)=fitobject.a;

Fit_P(2)=fitobject.b;

Fit_P(3)=fitobject.c;

Fit_P(4)=fitobject.d;

Fit_P(5)=fitobject.e;

%plot(x,y,'.');

% 开始计算拟合后的y

x1 = 0:0.01:10;

fit_y1 = Fit_P(1)*x1+Fit_P(2)*sin(Fit_P(3)*x1).*exp(Fit_P(4)*x1)+Fit_P(5);

subplot(3,2,1)

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',10,'Marker','.','color','k');

plot(x1,fit_y1,'-','linewidth',1.5,'color','r');

% 开始计算拟合后的y

fit_y1 = Fit_P(1)*x+Fit_P(2)*sin(Fit_P(3)*x).*exp(Fit_P(4)*x)+Fit_P(5);

subplot(3,2,1)

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x,fit_y1,'-','linewidth',1.5,'color','r');

hold on;

title('经典fit函数');

box on;

% 2 用nlinfit()函数 Levenberg-Marquardt

% 定义一个函数

Func=@(P,x)( P(1)*x+P(2)*sin(P(3)*x).*exp(P(4)*x)+P(5));% 也就是说定义一个函数模型

OP2 = statset('nlinfit');%

% x，y modelfun是函数模型 beta表示的是初始值 ，我这里写成最进行的那个参数 OP2 拟合的方法

beta=[-0.17 2.1 3.0 0.25 2.0];% 初始值

Fit_P2 = nlinfit(x,y,Func,beta,OP2);

%拟合

fit_y2 = Fit_P2(1)*x1+Fit_P2(2)*sin(Fit_P2(3)*x1).*exp(Fit_P2(4)*x1)+Fit_P2(5);

subplot(3,2,2)

hold on;

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y2,'-','linewidth',1.5,'color','r');

box on

%ylim(y_lim)

title('nlinfit函数')

% 3 信赖区间 IsqNonLin()

func2=@(P)(P(1)*x+P(2)*sin(P(3)*x).*exp(P(4)*x)+P(5) -y);

% lsqnonlin方法

% 'Algorithm','trust-region-reflective' 算法是trust-region-reflective

% MaxFunctionEvaluations MaxFunctionEvaluations可以理解为试探的次数，

% 比如算法在一个点的四周试探了三个邻近点的值，然后确定下一步要往其中的某个点走，

% 这个时候FunctionEvaluations对应3次，即试探了3次，而Iteration是一次，即走了一步，完成了一步迭代

% MaxIterations 最大迭代次数

OP3=optimoptions(@lsqnonlin,'Algorithm','trust-region-reflective','MaxFunctionEvaluations',1e4,'MaxIterations',1e3);

%[-2, 0, 2, 0, 0];%参数的最小边界

%[1, 3, 5, 2, 3];%参数的最大边界

lower=[-2, 0, 2, 0, 0];

up=[1, 3, 5, 2, 3];

% 计算出系数

[Fit_P3,~]=lsqnonlin(func2,beta,lower,up,OP3);

fit_y3=Fit_P3(1)*x1+Fit_P3(2)*sin(Fit_P3(3)*x1).*exp(Fit_P3(4)*x1)+Fit_P3(5);

subplot(3,2,3);

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y3,'-','linewidth',1.5,'color','r')

hold off

box on

%ylim(y_lim)

title('lsqnonlin函数');

%4 lsqcurvefit()函数 trust-region-reflective

modelfun2 = @(p,x)(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5)) ;

OP4=optimoptions('lsqcurvefit','Algorithm','trust-region-reflective','MaxFunctionEvaluations',1e4,'MaxIterations',1e3);

%[-2, 0, 2, 0, 0];%参数的最小边界

%[1, 3, 5, 2, 3];%参数的最大边界

lower=[-2, 0, 2, 0, 0];

up=[1, 3, 5, 2, 3];

% 计算出系数

%[p,~] = lsqcurvefit(modelfun,p0,x,y,[-2,0,2,0,0],[1,3,5,3,3],OP4);

[Fit_P4,~]=lsqcurvefit(modelfun2,beta,x,y,lower,up,OP4);

fit_y4=Fit_P4(1)*x1+Fit_P4(2)*sin(Fit_P4(3)*x1).*exp(Fit_P4(4)*x1)+Fit_P4(5);

subplot(3,2,4);

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y4,'-','linewidth',1.5,'color','r')

hold off

box on

%ylim(y_lim)

title('lsqcurvefit函数');

%% 5 fsolve()函数 %默认算法trust-region-dogleg

modelfun3 = @(p)(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5) -y);

p0 = 5*rand(1,5);

OP5 = optimoptions('fsolve','Display','off');

Fit_P = fsolve(modelfun3,beta,OP5);

fit_y5 = Fit_P(1)*x1+Fit_P(2)*sin(Fit_P(3)*x1).*exp(Fit_P(4)*x1)+Fit_P(5);

subplot(3,2,5)

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x1,fit_y5,'-','linewidth',1.5,'color','r')

hold off

box on

title('fsolve函数')

%% 6 粒子群PSO算法

fun6 = @(p) ( norm(p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5) -y) );%这里需要计算误差的平方和

OP6 = optimoptions('particleswarm','InertiaRange',[0.4,1.2],'SwarmSize',100);

[p,~,~,~] = particleswarm(fun6,5,[-5,-5,-5,-5],[5,5,5,5],OP6);%区间可以稍微放大一些，不怕

y6 = p(1)*x+p(2)*sin(p(3)*x).*exp(p(4)*x)+p(5);

subplot(3,2,6)

hold on

plot(x,y,'LineStyle','none','MarkerSize',15,'Marker','.','color','k')

plot(x,y6,'-','linewidth',1.5,'color','r')

hold off

box on

ylim(y_lim)

title('PSO算法')

三、多项式曲线

 Matlab:

<code>>> x=linspace(0,4*pi,150);

y=cos(x)+10*rand(1);

plot(x,y,'.');

hold on;

[p,s]=polyfit(x,y,9);% 拟合为7阶的函数

x1=linspace(0,4*pi,150);

y1=polyval(p,x1);

plot(x1,y1,'color','r');

p

p =

0.0000 0.0000 -0.0004 0.0081 -0.0783 0.3753 -0.7660 0.3815 -0.4104 10.6154

% 方程变换

>> x=linspace(0,4*pi,150);

y=2*exp(-(x-1).^2/1.^2)+0.1*rand(1);

plot(x,y,'.')

>> x=linspace(0,4*pi,50);

y=2*exp(-(x-1).^2/1.^2)+0.1*rand(1);

plot(x,y,'.')

>> x=linspace(0,4*pi,50);

y=2*exp(-(x-1).^2/1.^2)+0.1*rand(1);

plot(x,y,'.');

hold on;

[p,s]=polyfit(x,y,9);% 拟合为7阶的函数

x1=linspace(0,4*pi,50);

y1=polyval(p,x1);

plot(x1,y1,'color','r')

 从上图我们可以看出9阶的拟合效果要比7阶的好很多，那么我们用c++实现的时候也就按照9阶的来。