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置信区间（Confidence Interval, CI） 是统计学中用于估计总体参数的范围。它给出了一个区间，并且这个区间包含总体参数的概率等于某个指定的置信水平（通常是 90%、95% 或 99%）。与点估计不同，置信区间通过区间估计给出了参数的可能范围，从而提供了更可靠的信息。

1. 定义

置信区间是用于估计总体参数（如均值、比例等）的一个区间。与点估计（即单个估计值）不同，置信区间提供了一系列可能包含总体参数的值，并伴随着一定的置信水平。

置信区间可以看作是一个范围，表示我们对这个范围包含真实参数值的信心程度。例如，给定 95% 的置信水平，置信区间表示我们有 95% 的信心认为该区间包含总体参数。

2. 置信水平

置信水平（Confidence Level） 表示区间包含总体参数的概率。通常使用的置信水平有 90%、95%、99% 等。置信水平越高，置信区间越宽，表示我们更有把握认为总体参数落在该区间内。

3. 置信区间的计算

对于总体均值

μ

\mu

μ，当样本量较大且样本均值服从正态分布时，置信区间可以通过以下公式计算：

置信区间

=

(

X

‾

−

z

α

/

2

⋅

σ

n

,

X

‾

+

z

α

/

2

⋅

σ

n

)

\text{置信区间} = \left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

置信区间=(X−zα/2​⋅n

​σ​,X+zα/2​⋅n

​σ​)

其中：

X

‾

\overline{X}

X 是样本均值。

σ

\sigma

σ 是总体的标准差，若不知道

σ

\sigma

σ，可以用样本标准差

s

s

s 代替。

n

n

n 是样本量。

z

α

/

2

z_{\alpha/2}

zα/2​ 是对应置信水平的标准正态分布的临界值。例如，对于 95% 置信水平，

z

α

/

2

=

1.96

z_{\alpha/2} = 1.96

zα/2​=1.96。

临界值：在标准正态分布中，临界值是位于分布尾部的那个点，使得在该点外的面积（即尾部面积）等于

(

1

−

置信水平

)

/

2

(1 - \text{置信水平}) / 2

(1−置信水平)/2。例如，在 95% 的置信水平下，左右两侧各留出 2.5% 的尾部面积，因此 95% 的置信区间在

z

z

z 轴上对应的临界值是 1.96。1.96 是标准正态分布

x

x

x 轴上的一个点，它表示距离均值 1.96 个标准差的位置。

图示如下：

图片来源：https://analystprep.com/cfa-level-1-exam/quantitative-methods/confidence-intervals-2/

4. 置信区间的例子

假设我们从某个城市中抽取了 100 人的样本，测量他们的年收入，计算出样本均值为

X

‾

=

50

,

000

\overline{X} = 50,000

X=50,000 美元，样本标准差为

s

=

10

,

000

s = 10,000

s=10,000 美元。我们希望以 95% 的置信水平来估计该城市居民的平均年收入。

根据 95% 置信水平，对应的

z

α

/

2

=

1.96

z_{\alpha/2} = 1.96

zα/2​=1.96，样本量

n

=

100

n = 100

n=100，置信区间为：

置信区间

=

(

50

,

000

−

1.96

⋅

10

,

000

100

,

50

,

000

+

1.96

⋅

10

,

000

100

)

\text{置信区间} = \left( 50,000 - 1.96 \cdot \frac{10,000}{\sqrt{100}}, 50,000 + 1.96 \cdot \frac{10,000}{\sqrt{100}} \right)

置信区间=(50,000−1.96⋅100

​10,000​,50,000+1.96⋅100

​10,000​)

=

(

50

,

000

−

1

,

960

,

50

,

000

+

1

,

960

)

= (50,000 - 1,960, 50,000 + 1,960)

=(50,000−1,960,50,000+1,960)

=

(

48

,

040

,

51

,

960

)

= (48,040, 51,960)

=(48,040,51,960)

因此，我们可以说我们有 95% 的信心认为该城市的平均年收入在

48

,

040

48,040

48,040 美元到

51

,

960

51,960

51,960 美元之间。

5. 不同类型的置信区间

a. 总体均值的置信区间

适用于推断总体均值时的置信区间，通常使用

z

z

z 检验（样本量较大）或

t

t

t 检验（样本量较小，且总体方差未知）。

b. 总体比例的置信区间

当研究总体的某种比例（如支持率）时，可以用置信区间来推断总体比例的范围。

c. 差异的置信区间

用于比较两个总体均值或比例的差异时，可以计算差异的置信区间来确定总体间差异的可能范围。

6. 置信区间的应用

a. 医学研究

在临床试验中，置信区间常用于估计治疗效果的大小。例如，研究某种药物的疗效是否显著，置信区间可以帮助研究者判断药物的有效性。

b. 市场调研

在市场调研中，置信区间可以用于估计市场份额、顾客满意度等参数的范围。例如，估计某品牌在市场中的份额，置信区间可以帮助估计该份额的上限和下限。

c. 质量控制

在制造业中，置信区间常用于监控产品质量，估计产品在某个规格范围内的比例。

7. 置信区间与假设检验的关系

置信区间和假设检验都是用于统计推断的工具，但它们在使用方式和目标上有所不同：

置信区间：用于估计总体参数的范围。它告诉我们总体参数落在某个区间内的可能性。假设检验：用于判断某一特定假设是否成立。它告诉我们是否可以拒绝某个假设。

假设检验的结果与置信区间的一致性：

如果我们通过假设检验拒绝了某个值作为总体参数，那么这个值通常不会出现在相应的置信区间内。反之，如果某个值落在置信区间之外，那么我们会拒绝这个值作为总体参数，在对应的假设检验中也会拒绝零假设。

8. 总结

置信区间是统计推断中的重要工具，它提供了总体参数的一个估计范围，并通过置信水平反映了对该估计范围的信心程度。置信区间结合了样本数据和统计理论，帮助我们在不确定性中做出更有依据的推断和决策。