理论:(1)卡方分布、非中心卡方分布详解 (概念、求阈值方法、非中心化参数求解办法等)

他人是一面镜子,保持谦虚的态度 2024-06-20 14:31:02 阅读 72

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GNSS/INS紧组合导航系统完好性监测(理论和c++代码)专栏,后续会开源全部代码

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目录

一、相关概念

1、卡方分布

2、卡方分布计算方法:

3、非中心卡方分布

二、卡方分布在组合导航故障检测中的作用

1、举例:

 2、非中心化参数求解

(1)求卡方分布的检测阈值

 (2)求非中心化参数(C++环境编译,亲测有效)

一、相关概念

1、卡方分布

若n个 相互独立 的随机变量 ξ₁、ξ₂、……、ξn ,均服从 标准正态分布N(0,1),则这n个服从标准正态分布的随机变量的 平方和 构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布(chi-squaredistribution);其中参数n称为自由度(通俗讲,样本中独立或能自由变化的自变量的个数,称为自由度),正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个分布;其表达如下:

 概率密度函数和卡方分布表如下:

下表即为卡方分布表,第一列为自由度 (n),第一行为显著水平 (α),据此可以查找到临界值,如果检验统计量

\chi^{2}

大于临界值,则检验统计量就位于拒绝域以内,说明观察结果与期望结果之间的差异显著 (也是完好性判断的本质)

 什么是显著水平 ?(其实就是 误警率)

 

2、卡方分布计算方法:

卡方分布在线计算网址:

Chi Square Calculator - ChiSquareTable.net

也可以用pyhon写程序,代码如下:

from scipy.stats import norm

from scipy.stats.distributions import chi2

from scipy.stats import ncx2

# 完好性风险相关:(风险概率,均值, 方差)

ppf_1 = norm.ppf(q=0.99999, loc=0, scale=1)  

print(ppf_1)

# 卡方分布相关:(1-P_FA, 自由度)

ppf_2 = chi2.ppf(0.99999, df=3)  

print(ppf_2)         

            

# 非中心参数相关:(1-P_MD, 自由度,非中心化参数)

ppf_3 = ncx2.ppf(0.999, 3, 2.785)  

print(ppf_3)          

 也可以用MATLAB 语句

chi2inv(1-P_FA, 自由度)

3、非中心卡方分布

二、卡方分布在组合导航故障检测中的作用

1、举例:

 

理解:卡方分布在第一象限内,卡方值都是正值,呈正偏态(右偏态),随着参数 n 的增大;卡方分布趋近于正态分布;随着自由度n的增大,卡方分布向正无穷方向延伸(因为均值n越来越大),分布曲线也越来越低阔(因为方差2n越来越大)概率是概率密度函数的区间积分!

 

 2、非中心化参数求解

(1)求卡方分布的检测阈值

 (2)求非中心化参数(C++环境编译,亲测有效)

 sn:自由度、T检测阈值、0.00001:漏检概率

#include <boost/math/distributions/non_central_chi_squared.hpp>

double lam = boost::math::non_central_chi_squared_distribution<double>::find_non_centrality(sn, T, 1 - 0.00001); 



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