本篇文章是博主在最优化、人工智能等领域学习时，用于个人学习、研究或者欣赏使用，并基于博主对人工智能等领域的一些理解而记录的学习摘录和笔记，若有不当和侵权之处，指出后将会立即改正，还望谅解。文章分类在最优化算法：

      最优化算法（6）---《最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布》

最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布

目录

1.问题

2.问题分析

2.1 解的存在性

2.2 解的唯一性

3.问题建模

4.模型求解与难点分析

5 模型求解

5.1问题模型优化

5.2 优化算法实现

5.3 MATLAB实现结果

6 模型改进与讨论

1.问题

        假设有N=20个传感器节点随机分布在半径为R=1公里的圆区域内(如图1所示)，现要求:通过调整各传感器的位置，使其稀疏分布于外环半径为R，内环半径为0.8R的圆环区域内(即保证圆环内的邻近传感器节点之间的距离尽可能地远，以减轻电磁互扰)。

请完成以下工作:

根据题目背景建立传感器位置优化模型提出相关优化算法并求解该数学模型运用相关优化软件给出仿真结果

2.问题分析

2.1 解的存在性

        针对于上述圆环内传感器节点最大最小距离分布问题，从基础情况开始，探讨原问题解的可能性。当传感器数量为2时特定时，分布在大圆直径上的任意两点就能满足问题的设定条件；而当数量为3时，大圆的内切等腰三角形的三个顶点同样能符合要求；少量的传感器，可以很快的得出最优结果。

        接下来，采用一个形象的比喻：将传感器视为胶体粒子。在胶体体系中，如果胶体粒子带有相同的电荷（无论是正电荷还是负电荷），它们会因为同性电荷的排斥作用而保持稳定的分散状态，避免凝聚。当这些“粒子”被散布在圆环上时，由于同性电荷的排斥作用，它们会自然散开直至达到一个稳定的分布状态。这个稳定状态，实际上就是追求的最稀疏分布，从而证明了问题解的存在性。

        为实现这一目标，可以借助精心设计的优化算法和策略性的调整方法，逐步达到稀疏分布的理想效果，进而有效缓解电磁互扰的问题。

2.2 解的唯一性

        经过深入解析可知，可以确认，在少量传感器配置时，已证明存在最优解，且这些最优解并非唯一，而是有无穷多个。现在，基于这一逻辑，进一步假设当传感器数量达到任意N时，最优解同样存在，并且同样具备无穷多个的可能性。以下是详细的证明过程：

3.问题建模

        在考虑n个传感器节点的位置分布时，设定了一系列传感器节点的坐标位置。为了量化节点之间的相对位置关系，引入了指标集合

         具体地说，该模型的目标是实现传感器之间的最大间距，同时满足特定的约束条件，以确保整个网络的有效性和稳定性。

4.模型求解与难点分析

针对前述提出的优化模型P1，深入剖析了其在目标函数和约束条件上所面临的求解挑战，并提出了解决措施，具体如下：

        1）首先，面对目标函数不可微的难题，采取了光滑化处理策略

得到优化模型P2：

        2）其次，模型中存在两类约束：凸约束和非凸约束。其中凸约束（1）的成立基于凸集的定义，即对于集合D中的任意两点及其之间的任意点，若这些点都满足特定条件，则D被称为凸集。然而，（2）作为非凸约束，其特性在于它无法保证集合内任意两点间的连线仍在集合内部。 

         约束（2）证明如下：

                由于（2）无法保证任意两点间的连线仍在集合内，

                因此（2）为非凸约束。

        3）再者，目标函数的非凸非线性特性也是面临的挑战之一。

        为了求解模型，采用了凸优化技术。通过松弛处理，尝试将原非线性问题P1转化为凸优化问题，以期提高求解效率和准确性。整个流程如图4所示，清晰地展示了这一转化过程。

5 模型求解

5.1问题模型优化

   篇幅太长，大多为公式，不便于展示，完整的文档放在了文章末尾的链接中，需要自取。

5.2 优化算法实现

针对优化模型P5，使用MATLAB编程实现，并采用CVX工具协助迭代求解，优化算法实现过程如下：

表1  优化求解算法

5.3 MATLAB实现结果

        针对优化模型P5，使用MATLAB求解代码如下：

<code>%% 主程序流程

clear

close all;

N=20; % 设置传感器节点数量

M=10; % 设置迭代次数

R1 =1; % 设置外圆半径

R2 =0.8*R1; % 设置内圆半径

theta = linspace(0,2*pi); % 生成角度数组

xx1 = R1*cos(theta); % 生成外圆x坐标

yy1 = R1*sin(theta); % 生成外圆y坐标

xx2 = R2*cos(theta); % 生成内圆x坐标

yy2 = R2*sin(theta); % 生成内圆y坐标

thetal = 2*pi*unifrnd(0,1,1,N); % 生成随机角度

r=R1*unifrnd(0,1,1,N); % 生成随机半径

xxx = r.*cos(thetal); % 计算传感器节点x坐标

yyy = r.*sin(thetal); % 计算传感器节点y坐标

x=[xxx;yyy]; % 合并坐标

%% 绘制原各传感器的位置

figure(1)

plot(xx1,yy1) % 绘制外圆

axis equal % 设置坐标轴比例相等

hold on

plot(xx2,yy2) % 绘制内圆

hold on;

title('圆环区域内原传感器节点位置图');

scatter(x(1,:),x(2,:),'filled') % 绘制原始传感器节点位置

%% 优化求解算法

distance1=[]; % 初始化距离数组

for i=1:N % 对每个传感器节点

for j=(i+1):N % 对每个其他传感器节点

distance1 = [distance1;norm(x(:,i)-x(:,j))]; % 计算节点间距离并存储

end

end

t=min(distance1); % 计算初始最小距离

for m=1:M % 进行M次迭代

rou=m/M; % 计算当前迭代的比例

for i=1:N % 对每个传感器节点

if norm(x(:,i))<rou*R2 % 如果节点在当前内圆内

x(:,i)=rou*R2/norm(x(:,i))* x(:,i); % 调整节点位置到当前内圆边界

end

end

% 使用CVX求解优化问题

cvx_begin % 开始CVX优化求解

variables deltax(2,N) deltat % 定义优化变量

maximize(t+deltat) % 最大化最小距离增量

subject to

for i=1:N % 对每个传感器节点

% 确保节点在外圆内

x(:,i)'*x(:,i)+2*x(:,i)'*deltax(:,i)+deltax(:,i)'*deltax(:,i)<=R1^2;

% 确保节点在当前内圆外

x(:,i)'*x(:,i)+2*x(:,i)'*deltax(:,i)>=(rou*R2)^2;

for j=(i+1):N % 对每个其他传感器节点

% 确保节点间最小距离增加

x(:,i)'*x(:,i)+x(:,j)'*x(:,j)-2*x(:,i)'*x(:,j)+2*(x(:,i)-x(:,j))'*(deltax(:,i)-deltax(:,j))>=(t*t+2*t*deltat);

end

end

t+deltat>=0; % 确保最小距离非负

cvx_end

x=x+deltax; % 更新传感器位置

t=t+deltat; % 更新最小距离

end

distance2=[]; % 初始化优化后距离数组

for i=1:N % 对每个传感器节点

for j=(i+1):N % 对每个其他传感器节点

distance2=[distance2;norm(x(:,i)-x(:,j))]; % 计算优化后节点间距离并存储

end

end

distance_min=min(distance2); % 计算优化后最小距离

%% 绘制传感器优化位置图

figure(2)

plot(xx1,yy1) % 绘制外圆

axis equal % 设置坐标轴比例相等

hold on

plot(xx2,yy2) % 绘制内圆

hold on;

title('圆环区域内传感器节点位置优化后图');

scatter(x(1,:),x(2,:),'filled') % 绘制优化后的传感器节点位置

disp("优化后最小距离:");

disp(distance_min);

        运行结果如下：

        根据圆环区域内传感器节点位置优化后图观察得到，外圆环上每两个传感器中间的内圆环上存在一个传感器，基本以两个中间穿插一个的规律放置传感器节点，能够达到最优。

        由圆环区域内传感器节点位置优化后MATLAB输出结果图可知，优化后的传感器最小距离为0.3359。

图2 圆环区域内传感器节点位置优化后图

图3 圆环区域内传感器节点位置优化后MATLAB输出结果图

6 模型改进与讨论

        在构建的模型时，针对于松弛处理对原始约束条件的部分舍弃，算法迭代过程中可能会产生传感器位置超出圆环范围的情况。对此，采取了位置限制的方法，旨在识别并调整这些异常点至其最近的合理位置。

        但是这样会降低算法效率，位置限制通常需要在每次迭代时执行，这会增加算法的计算负担，并可能导致算法运行时间的延长。如果圆环的边界或传感器位置经常发生变化，则可能需要频繁的检测和调整，从而进一步降低算法的效率。

        影响解的质量，虽然位置限制可以确保传感器位置始终在圆环内，但这可能会影响到优化解的质量。因为调整异常点到其最近的合理位置可能不是全局最优解，而是局部最优或次优解。

        导致算法不够稳定，如果位置限制的实现方式不够稳定，可能会导致算法在迭代过程中出现不稳定的行为。例如，如果检测和调整的过程引入了额外的噪声或误差，可能会导致算法无法收敛到稳定的解。

完整的文档、Matlab代码放在了下面链接中，需要自取：

最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布

如果获取上述方式获取不到资源，请在评论区发表自己的邮箱地址（私信不回复），看到后会尽快发送给你。

     文章若有不当和不正确之处，还望理解与指出。由于部分文字、图片等来源于互联网，无法核实真实出处，如涉及相关争议，请联系博主删除。如有错误、疑问和侵权，欢迎评论留言联系作者，或者私信联系作者。