AI学习指南数学工具篇-核函数之线性核(Linear Kernel)

在支持向量机（SVM）和核方法中，核函数是一种用于处理非线性可分数据的重要工具。其中，线性核函数（Linear Kernel）是最简单的核函数之一，它在特征空间中起着重要的作用。本篇博客将介绍线性核函数及其在特征空间中的作用，同时将通过详细的示例来解释其使用方法。

什么是线性核函数（Linear Kernel）?

线性核函数是一种最简单的核函数，它可以用来处理线性可分数据。其数学表达式为：

K

(

x

i

,

x

j

)

=

x

i

T

⋅

x

j

K(x_i, x_j) = x_i^T \cdot x_j

K(xi​,xj​)=xiT​⋅xj​

其中，

x

i

x_i

xi​ 和

x

j

x_j

xj​ 分别表示样本的特征向量，

x

i

T

x_i^T

xiT​ 表示

x

i

x_i

xi​ 的转置。在支持向量机中，线性核函数可以直接将原始特征空间中的数据映射到高维特征空间中，从而实现数据的线性可分。

线性核函数在特征空间中的作用

线性核函数在特征空间中起着重要的作用，它可以将低维线性不可分的数据映射到高维线性可分的数据，从而提高了分类的准确性。在实际应用中，线性核函数常常用于处理简单的线性可分问题，例如二分类问题或多分类问题。

接下来，我们将通过一个具体的示例来展示线性核函数在特征空间中的作用。

示例: 使用线性核函数处理简单的二分类问题

假设我们有一个简单的二维数据集，其中包含两类数据点，它们在特征空间中呈现线性不可分的情况。我们可以使用支持向量机和线性核函数来解决这个问题。

首先，我们使用如下代码生成一个简单的二维数据集：

<code>import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# 生成两类数据点

np.random.seed(0)

X = np.r_[np.random.randn(20, 2) - [2, 2], np.random.randn(20, 2) + [2, 2]]

y = [0] * 20 + [1] * 20

# 可视化数据点

plt.scatter(X[:20, 0], X[:20, 1], color="r", marker="o", label="Class 0")code>

plt.scatter(X[20:, 0], X[20:, 1], color="b", marker="x", label="Class 1")code>

plt.legend()

plt.show()

运行以上代码，我们可以得到一个包含两类数据点的二维数据集。接下来，我们可以使用支持向量机和线性核函数来训练模型，并进行分类预测。

<code>from sklearn.svm import SVC

# 使用线性核函数的支持向量机模型

model = SVC(kernel="linear")code>

model.fit(X, y)

# 可视化决策边界

w = model.coef_[0]

a = -w[0] / w[1]

xx = np.linspace(-5, 5)

yy = a * xx - (model.intercept_[0]) / w[1]

plt.scatter(X[:20, 0], X[:20, 1], color="r", marker="o", label="Class 0")code>

plt.scatter(X[20:, 0], X[20:, 1], color="b", marker="x", label="Class 1")code>

plt.plot(xx, yy, "k-")

plt.legend()

plt.show()

通过以上代码，我们可以得到训练好的支持向量机模型，并将决策边界可视化出来。可以看到，线性核函数成功地将原始的线性不可分数据映射到高维特征空间中，实现了数据的线性可分。

总结