AI学习指南数学工具篇-核函数之多项式核（Polynomial Kernel）

在机器学习领域中，核函数是一种非常重要的工具，它可以将数据映射到更高维的空间中，从而使得原本线性不可分的数据变得线性可分。其中，多项式核函数（Polynomial Kernel）是一种常用的核函数之一，它具有非线性特征映射的特点。本文将详细介绍多项式核函数及其非线性特征映射，通过详细的示例来帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学工具。

1. 多项式核函数的定义

在支持向量机（SVM）等机器学习算法中，多项式核函数是一种常用的核函数，其定义如下：

K ( x , y ) = ( x ⋅ y + c ) d K(x, y) = (x \cdot y + c)^d K(x,y)=(x⋅y+c)d

其中， x x x 和 y y y 是输入样本的特征向量， c c c 是一个常数项， d d d 是多项式的次数。

多项式核函数的作用是将输入样本映射到更高维的空间中，从而使得原本线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分。接下来，我们将通过实际的例子来详细介绍多项式核函数的非线性特征映射过程。

2. 多项式核函数的非线性特征映射

假设我们有一个二维的输入空间，即每个样本有两个特征： x = ( x 1 , x 2 ) x = (x_1, x_2) x=(x1​,x2​)。我们希望通过多项式核函数将这些样本映射到三维空间中，即通过一个非线性映射将二维输入空间映射到三维特征空间： ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ϕ 3 ( x ) ) \phi(x) = (\phi_1(x), \phi_2(x), \phi_3(x)) ϕ(x)=(ϕ1​(x),ϕ2​(x),ϕ3​(x))。

多项式核函数的非线性特征映射过程可以表示为：

ϕ ( x ) = ( x 1 2 , 2 x 1 x 2 , x 2 2 ) \phi(x) = (x_1^2, \sqrt{2}x_1x_2, x_2^2) ϕ(x)=(x12​,2 ​x1​x2​,x22​)

上述映射将二维平面上的数据点映射到了三维空间中，从而使得原本线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分。接下来，我们将通过一个具体的示例来演示多项式核函数的非线性特征映射过程。

2.1 示例：多项式核函数的非线性特征映射

假设我们有如下两个二维的数据点：

接下来，我们将通过多项式核函数及其非线性特征映射来将这两个数据点映射到三维空间中。

步骤1：计算非线性特征映射

首先，我们需要计算数据点在三维空间中的映射结果：

对于数据点1： x = ( 1 , 2 ) x = (1, 2) x=(1,2)

ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ϕ 3 ( x ) ) = ( 1 2 , 2 × 1 × 2 , 2 2 ) = ( 1 , 2 2 , 4 ) \phi(x) = (\phi_1(x), \phi_2(x), \phi_3(x)) = (1^2, \sqrt{2}\times1\times2, 2^2) = (1, 2\sqrt{2}, 4) ϕ(x)=(ϕ1​(x),ϕ2​(x),ϕ3​(x))=(12,2 ​×1×2,22)=(1,22 ​,4)

对于数据点2： x = ( − 1 , 1 ) x = (-1, 1) x=(−1,1)

ϕ ( x ) = ( ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , ϕ 3 ( x ) ) = ( ( − 1 ) 2 , 2 × ( − 1 ) × 1 , 1 2 ) = ( 1 , − 2 , 1 ) \phi(x) = (\phi_1(x), \phi_2(x), \phi_3(x)) = ((-1)^2, \sqrt{2}\times(-1)\times1, 1^2) = (1, -\sqrt{2}, 1) ϕ(x)=(ϕ1​(x),ϕ2​(x),ϕ3​(x))=((−1)2,2 ​×(−1)×1,12)=(1,−2 ​,1)

步骤2：计算多项式核函数的值

接下来，我们计算数据点在三维空间中的映射结果的内积，并加上常数项 c c c，然后再取其幂次 d d d。假设常数项 c = 1 c=1 c=1，幂次 d = 2 d=2 d=2。

对于数据点1：

K ( x , y ) = ( x ⋅ y + c ) d = ( 1 × 1 + 2 2 × 2 + 4 + 1 ) 2 = ( 12 + 2 2 ) 2 K(x, y) = (x \cdot y + c)^d = (1\times1 + 2\sqrt{2}\times2 + 4 + 1)^2 = (12 + 2\sqrt{2})^2 K(x,y)=(x⋅y+c)d=(1×1+22 ​×2+4+1)2=(12+22 ​)2

对于数据点2：

K ( x , y ) = ( x ⋅ y + c ) d = ( 1 × 1 − 2 × 2 + 1 ) 2 = ( 0 ) 2 K(x, y) = (x \cdot y + c)^d = (1\times1 - \sqrt{2}\times\sqrt{2} + 1)^2 = (0)^2 K(x,y)=(x⋅y+c)d=(1×1−2 ​×2 ​+1)2=(0)2

通过上述计算，我们将数据点1和数据点2通过多项式核函数映射到了三维空间中，并计算了它们的核函数值。从计算结果可以看出，数据点在高维空间中的映射结果不仅使得原本线性不可分的数据变得线性可分，而且充分表达了原始数据的非线性特性。

3. 总结

本文详细介绍了多项式核函数及其非线性特征映射，通过详细的示例演示了多项式核函数的非线性特征映射过程。多项式核函数作为一种经典的核函数，在机器学习领域中具有广泛的应用，特别是在支持向量机等算法中起着重要的作用。希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握多项式核函数这一重要的数学工具。如果读者对于本文内容有任何疑问或者补充，欢迎在评论区与我们进行讨论交流。