1、线性规划问题

        线性规划（Linear programming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，是研究线性约束条件下线性目 标函数的极值问题的数学理论和方法。  线性规划是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方 面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

 线性规划模型的三要素

决策变量：问题中要确定的未知量，用于表明规划问题中的用数量表示的方案、措施等，可由决 策者决定和控制；

目标函数：决策变量的函数，优化目标通常是求该函数的最大值或最小值；

约束条件：决策变量的取值所受到的约束和限制条件，通常用含有决策变量的等式或不等式表示。

线性规划模型建立步骤

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：

1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量

2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数

3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件

例题

假设有两种产品：产品A和产品B。每个单位的产品A利润为10美元，产品B利润为15美元。生产每个单位产品A需要1小时的机器时间和2小时的人工时间，生产每个单位产品B需要2小时的机器时间和1小时的人工时间。假设机器时间每天最多可用10小时，人工时间每天最多可用12小时。如何安排生产以最大化利润？

目标函数（利润最大化）:

𝑍=10𝑥1+15𝑥2

约束条件：

机器时间约束：

𝑥1+2𝑥2≤10

人工时间约束：

2𝑥1+𝑥2≤12

非负约束：

𝑥1≥0

𝑥2≥0

<code>from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数（因为我们使用的是最小化问题，所以这里用负数表示最大化）

c = [-10, -15]

# 不等式左侧的系数矩阵（对应约束条件中的左侧）

A = [[1, 2], [2, 1]]

# 不等式右侧的值（对应约束条件中的右侧）

b = [10, 12]

# 非负约束的左侧系数（因为linprog默认就是非负约束，所以这里可以省略）

# x_bounds = (0, None) # 如果需要显式定义，可以取消注释

# 使用linprog函数求解线性规划问题

result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, method='highs')code>

# 输出结果

if result.success:

print(f'最优解：x1 = {result.x[0]}, x2 = {result.x[1]}')

print(f'最大利润：{-result.fun}')

else:

print('没有找到最优解')

# 检查约束是否满足

print('约束满足情况：')

for con in result.slack:

print(f'约束剩余：{con}')

from scipy.optimize import linprog: 导入scipy.optimize模块中的linprog函数，用于解决线性规划问题。

c = [-10, -15]: 定义目标函数的系数。因为linprog默认是最小化问题，所以我们用负数表示最大化。

A = [[1, 2], [2, 1]]: 定义不等式约束的左侧系数矩阵。

b = [10, 12]: 定义不等式约束的右侧值。

result = linprog(...): 调用linprog函数求解问题，使用highs方法，这是一种较新的求解器，通常比默认的单纯形法更快。

if result.success: ...: 检查求解是否成功，并打印最优解和最大利润。

for con in result.slack: ...: 打印每个约束的剩余值，用于检查约束是否被满足

2、非线性规划 

以下是一个非线性规划问题的实例，我们将使用蒙特卡罗算法来选取初始值，然后使用内点法（在这个例子中，我们将使用Python的<code>scipy.optimize库中的minimize函数，它支持多种算法，包括内点法）来解决这个问题。

非线性规划问题实例：

求解以下非线性规划问题：

<code>import numpy as np

from scipy.optimize import minimize, Bounds

# 定义目标函数

def objective(x):

return x[0]**2 + x[1]**2

# 定义约束条件

def constraint1(x):

return x[0] + x[1] - 1

def constraint2(x):

return x[0]**2 + x[1]**2 - 0.5

# 定义边界

bounds = Bounds([-1, -1], [1, 1])

# 使用蒙特卡罗算法选取初始值

np.random.seed(0) # 设置随机种子以便结果可复现

initial_x = np.random.uniform(-1, 1, size=(2,))

# 定义约束字典

cons = ({'type': 'ineq', 'fun': constraint1},

{'type': 'ineq', 'fun': constraint2})

# 使用内点法解决问题

result = minimize(objective, initial_x, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=cons)code>

# 输出结果

print("最优解:", result.x)

print("最优值:", result.fun)

3、整数规划与0/1规划

<code>import pulp

# 创建一个线性规划问题

model = pulp.LpProblem("Maximize_Profit", pulp.LpMaximize)

# 定义变量

x = pulp.LpVariable('x', lowBound=0, cat='Integer') # 产品A的数量code>

y = pulp.LpVariable('y', lowBound=0, cat='Integer') # 产品B的数量code>

# 定义目标函数

model += 10 * x + 6 * y, "Total Profit"

# 定义约束条件

model += 2 * x + y <= 8, "Work Time Constraint" # 工作时间约束

model += 3 * x + 2 * y <= 10, "Material Constraint" # 原料约束

# 解决问题

model.solve()

# 输出结果

print("Status:", pulp.LpStatus[model.status])

print("Optimal Product A Quantity:", x.varValue)

print("Optimal Product B Quantity:", y.varValue)

print("Maximum Profit:", pulp.value(model.objective))

在这个代码中，我们首先创建了一个最大化问题<code>model。然后，我们定义了两个整数变量x和y，分别代表产品A和B的生产数量。我们添加了目标函数，即最大化总利润，并定义了两个约束条件，分别对应工作时间和原料的限制。

通过调用model.solve()，我们解决了这个整数规划问题。最后，我们打印出问题的状态、最优生产数量以及最大利润。在这个例子中，由于我们使用了整数规划，所以变量x和y的值将会是整数。

 0/1规划

假设你是一家公司的经理，需要决定是否投资于几个潜在的项目。每个项目都有一个不同的投资成本、预期回报和风险等级。你有一个预算限制，并且不想投资于超过一定风险等级的项目。你的目标是在不超过预算和风险等级的情况下最大化总回报。

以下是项目的信息：

项目1：成本500万，回报800万，风险等级1项目2：成本300万，回报600万，风险等级2项目3：成本400万，回报700万，风险等级3项目4：成本200万，回报500万，风险等级2

你有一个预算1000万，并且不想投资于风险等级超过2的项目。

为了解决这个问题，我们将通过以下步骤来建模：

定义决策变量：

设 𝑥1​ 为投资项目1的决策变量。设 𝑥2为投资项目2的决策变量。设 𝑥3 为投资项目3的决策变量。设 𝑥4 为投资项目4的决策变量。

建立目标函数：

我们的目标是最大化总回报，所以目标函数为 800𝑥1+600𝑥2+700𝑥3+500𝑥4。

建立约束条件：

预算约束：所有项目的投资成本之和不超过1000万，即 500𝑥1+300𝑥2+400𝑥3+200𝑥4≤1000。风险等级约束：不能投资于风险等级超过2的项目，即 𝑥3=0（因为项目3的风险等级是3）。决策变量必须是非负的，即 𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4≥0。

建立整数规划模型：

使用整数规划模型，因为我们的决策变量 𝑥1到 𝑥4必须是整数。

import pulp

# 创建一个线性规划问题，最大化总回报

model = pulp.LpProblem("Maximize_Return", pulp.LpMaximize)

# 定义决策变量

x_1 = pulp.LpVariable('x_1', lowBound=0, cat='Integer') # 项目1code>

x_2 = pulp.LpVariable('x_2', lowBound=0, cat='Integer') # 项目2code>

x_3 = pulp.LpVariable('x_3', lowBound=0, cat='Integer') # 项目3code>

x_4 = pulp.LpVariable('x_4', lowBound=0, cat='Integer') # 项目4code>

# 建立目标函数

model += 800 * x_1 + 600 * x_2 + 700 * x_3 + 500 * x_4, "Total Return"

# 建立约束条件

# 预算约束：所有项目的投资成本之和 <= 1000万

model += 500 * x_1 + 300 * x_2 + 400 * x_3 + 200 * x_4 <= 1000, "Budget Constraint"

# 风险等级约束：项目3的风险等级超过2，因此不投资

model += x_3 == 0, "Risk Constraint for Project 3"

# 解决问题

model.solve()

# 输出结果

print("Status:", pulp.LpStatus[model.status])

print("Invest in Project 1:", "Yes" if x_1.varValue > 0 else "No")

print("Invest in Project 2:", "Yes" if x_2.varValue > 0 else "No")

print("Invest in Project 3:", "No") # 项目3的风险等级超过2，因此不投资

print("Invest in Project 4:", "Yes" if x_4.varValue > 0 else "No")

print("Maximum Return:", pulp.value(model.objective))

在这个代码中，我们首先创建了一个最大化问题model。接着，我们定义了四个整数变量x_1到x_4来表示是否投资于项目1到项目4。我们添加了目标函数来最大化总回报，并建立了两个约束条件来限制预算和风险等级。最后，我们调用model.solve()来解决问题，并打印出投资决策和最大回报。由于使用了整数规划，x_1到x_4的值将会是0或1，表示不投资或投资。