文章对应视频讲解：

PLU分解LU分解

L: lower triangular 下三角

U: upper triangular 上三角

LU 分解，顾名思义，为 把一个 矩阵 分成 一个下三角矩阵 乘上一个上三角矩阵的形式。

Example

为什么可以这样

几个基本的初等行变换，可以自己验算一下，等式的左边与右边是相等的

用上面这几个等式，重新看一下 第一个例子，

对A进行了三次行变换，得到上三角矩阵U，

两边同时左乘初等矩阵的逆，表示成 A = 啥啥啥 乘 U

再用 Fact4 和 Fact 3 得到 下三角矩阵 L

LU分解

有了这个形式后，利用矩阵相乘，元素对应相等，便可求出 L 和 U

得到 L 和 U 后，

这样便可得到 x

所以关键是怎么得到 L 和 U

计算顺序

如果自己来算

就会发现是先算出第一层，才能算出第二层，再算出第三层，等等

因为要用计算机实现，所以需要知道，具体是怎么算的

在算的过程中可以发现，只在一个矩阵 A 上便可以发生这些变化

也就不需要开 A L U 三个矩阵的存储空间

LU分解算法

先单独求出 L 和 U

这样对于 系数矩阵A 相同, 右端常数项 b 不相同的情况下,都可以使用同样的 L,U 进行计算.

所以我把这里写出单独的一步,不然也体现不出 LU 分解 的优势所在.

北太天元 or Matlab 实现

LU分解

<code>function [L,U] = LU_factorization(A)

% LU分解

% A ： 系数矩阵

% A = LU

% Version: 1.0

% last modified: 09/25/2023

n = length(A);

A([2:n],1) = A([2:n],1) * (1/A(1,1));

for r = 2:1:n

for k = r:1:n

A(r,k) = A(r,k) - A(r,[1:r-1])*A([1:r-1],k);

end

for m = r+1:1:n

A(m,r) = (A(m,r) - A(m,[1:r-1])*A([1:r-1],r))*(1/A(r,r));

end

end

L = tril(A,-1)+eye(n);

U = triu(A,0);

end

保存为LU_factorization.m文件

两次回代

function [X] = back_substitution_two(L,U,b)

% Ly=b, Ux=y

% b : 列向量

% X : 解向量

%

% Version: 1.0

% last modified: 09/25/2023

y = push_ltm(L,b);

X = reg_utm(U,y);

end

保存为back_substitution_two.m文件

简单使用一下

clc,clear all;

A = [1 2 -1;2 1 -2; -3 1 1];

b1 = [3 3 -6];

[L,U] = LU_factorization(A);

X1 = back_substitution_two(L,U,b1)

得

L =

1.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000

2.000000000000000 1.000000000000000 0.000000000000000

-3.000000000000000 -2.333333333333333 1.000000000000000

U =

1 2 -1

0 -3 0

0 0 -2

X1 =

3.000000000000000

1.000000000000000

2.000000000000000

对于b不同的情况，可以这样

clc,clear all;

A = [1 2 -1;2 1 -2; -3 1 1];

b1 = [3 3 -6];

[L,U] = LU_factorization(A)

b = [3 3 -6;1 2 5;4 9 8;10 2 5];

m = length(b); X = cell(1,m);

for i = 1:1:length(b)

X{ i} = back_substitution_two(L,U,b(i,:)')

end

有3个不同的 b 得 3个不同的 解向量，这里是元胞数组的表示

X =

{ 3x1 double} { 3x1 double} { 3x1 double} { 3x1 double}

正常情况下,使用 Gauss消去法的话, Ax=b下,

相同的A 不同的 b,我们对于每一个b 都需要进行一套完整的消元过程,最后再进行一次回代.

计算量相当于: k 次完整消元+ k次回代

如果使用 LU分解, 则只需要进行一次完整的消元过程,加 2k 次回代

计算量相当于: 一次完整消元 + 2k 次 回代

显然 LU分解使用起来会更方便一些.

当然,上面的LU分解还没有达到列主元消去法那样的精度,只是相当于基础版的Gauss消去法

下面来简单介绍一下 PLU 分解,相当于 列主元消去法

PLU分解

主要是 通过 P 来达到一个 列主元消去法的效果,

在计算每一层之前,先把列中最大的那个元素换到相对的第一行, 主要就这一个特点

北太天元 or Matlab 实现

PLU分解

<code>function [L,U,P] = PLU_factorization(A)

% PA = LU分解

% Input: A

% output: L,U,P

% Version: 1.0

% last modified: 09/27/2023

n = length(A);

% 第一次行交换

[~,s]= max(A(1:n,1)); % s 表示第一列最大元素的位置

P = eye(n);

P([1,s],:) = P([s,1],:);

A = P*A; % 用初等矩阵左乘A 对 A 作行交换

A([2:n],1) = A([2:n],1) * (1/A(1,1)); % 求第一层

for r = 2:1:n

% 先有 行交换

p=eye(n); % 用 p 记录每一次的初等矩阵

[~,s]= max(A(r:n,r));

s = s + r-1;

p([r,s],:) = p([s,r],:);

A = p*A; % A的改变

P=p*P; % 记录P的变化

% 求第 r 层

for k = r:1:n

A(r,k) = A(r,k) - A(r,[1:r-1])*A([1:r-1],k);

end

for m = r+1:1:n

A(m,r) = (A(m,r) - A(m,[1:r-1])*A([1:r-1],r))*(1/A(r,r));

end

end

L = tril(A,-1)+eye(n);

U = triu(A,0);

end

例子

% PA = LU test

clc;clear all;

A = [1 2 -1;2 1 -2; -3 1 1];

b1 = [3 3 -6]';

[L,U,P] = PLU_factorization(A)

X1 = back_substitution_two(L,U,P*b1)

运行后得

L =

1.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000

0.500000000000000 1.000000000000000 0.000000000000000

-1.500000000000000 1.666666666666667 1.000000000000000

U =

2.000000000000000 1.000000000000000 -2.000000000000000

0.000000000000000 1.500000000000000 0.000000000000000

0.000000000000000 0.000000000000000 -2.000000000000000

P =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

X1 =

3

1

2

文中两次回代所用到的: 解上三角、下三角