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贝叶斯网络（概率图模型）定义主要考点例题- 要求画出贝叶斯网络图- 计算各节点的条件概率表- 计算概率- 分析独立性

贝叶斯网络（概率图模型）

定义

一种简单的用于表示变量之间条件独立性的有向无环图（DAG）。

主要考点

给出一定表述，要求画出贝叶斯网络图；给出每个节点的条件概率表；使用贝叶斯网络计算概率；分析贝叶斯网络的独立性；

例题

- 要求画出贝叶斯网络图

（20年期末）臭鸡蛋（E）或灾难后动物的尸体（M）都会发出一种奇怪的臭味（S），灾难也可能导致海水沸腾（B）。

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STEP1 先找出原因变量

E、M能导致S，所以E和M是原因变量，M也能导致B；因此由题目可以总结出E和M为原因变量，考虑首先把它们加入图中；

STEP2 依次把变量加入图中

首先加入E，然后加入M，E、M之间没有交互关系，无连接；

再加入S，E和M都能导致S，因此E和M都是S的父节点；

最后加入B，只有M能导致B，因此M作为B的父节点；

最后得出的贝叶斯网络图如下：

- 计算各节点的条件概率表

给定一定的数据集以及对应的贝叶斯网络，求各节点对应的条件概率表。

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STEP1 首先处理无父节点的结点

车记录数一共为41，对于行车里程，有高、低两种情况，有20个记录的行车里程为高

P(里程=高）
20/41

对于空调，有25个记录空调可用

P(空调=可用）
25/41

STEP2 再处理有父节点的结点

对于引擎，有一个父节点“行车里程”，

里程	P(空调=可用）
高	0.5
低	15/21

对于车的价值，有两个父节点，引擎和空调，因此有八行

引擎	空调	P(车价=高）
好	可用	0.75
好	不可用	2/3
差	可用	2/9
差	不可用	0

- 计算概率

在上一题的基础上计算P(引擎=差，空调=不可用)

未给定车的价值，引擎和空调是独立的，因此P(引擎=差，空调=不可用)=P(引擎=差）P(空调=不可用)

引擎与行车里程有关

P(引擎=差）= P(引擎=差 | 行车里程=高)P(行车里程=高)+P(引擎=差 | 行车里程=低)P(行车里程=低) = 0.5×（20/41） + （6/21） ×（21/41）

P(引擎=差，空调=不可用) = P(引擎=差）P（空调=不可用) = 0.5×（20/41） + （6/21） ×（21/41） × （16/41）=0.1522

（20年期末）臭鸡蛋（E）或灾难后动物的尸体（M）都会发出一种奇怪的臭味（S），灾难也可能导致海水沸腾（B）。

假定该表述的各条件概率表由下表所示，请计算出以下概率

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1、联合概率 P(-e,-s,-m,-b)

P(-e,-s,-m,-b) = P(-e)P(-m)P(-s|-e,-m)P(-b|-m) = 0.6×0.9×0.9×0.9 = 0.44

2、海水沸腾的概率 P(+b)

P(+b) = P(+b|+m)P(-m) + P(+b|-m)P(-m) = 1×0.1+0.1×0.9 = 0.19

3、在海水沸腾的条件下，动物尸体出现的概率 P(+m|+b)

P(+m|+b) = P(+b|+m)P(+m) / P(+b) = (1×0.1) / 0.19 = 0.53

4、在奇怪的臭味，海水沸腾与臭鸡蛋出现的条件下，动物尸体出现的概率 P(+m|+s,+b,+e)

可以根据贝叶斯网络写出联合概率

分子部分：

P(+e,+s,+m,+b) = P(+e)P(+m)P(+s|+e,+m)P(+b|+m) = 0.4×0.1×1.0×1.0 = 0.04

分母部分

P(+s,+b,+e) = P(+e)P(+m)P(+s|+e,+m)P(+b|+m) + P(+e)P(-m)P(+s|+e,-m)P(+b|-m) = 0.4×0.1×1.0×1.0 + 0.4×0.9×0.8×0.1 = 0.0688

所以P(+m|+s,+b,+e) = 0.04/0.0688 = 0.58

- 分析独立性

（20年期末）考虑下图所示的贝叶斯网络，判断以下表述是否正确

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判断独立性可以用道德图，有以下五个步骤

根据原始概率图，构建包括表达式中包含的变量以及这些变量的祖先节点的图；（这一步通常可以省略，看题目给出的图即可）若两个节点有同一个子节点，连接这两个节点；（若一个变量的节点有多个父节点，则分别链接每一对父节点）去掉图中所有的路径方向，将有向图变成无向图；从图中删除需要判断的概率表达式中作为条件的变量，以及和它们相连的路径；最后一步判断：若变量之间没有连接则独立，若有路径连接则不独立，若其中一个变量在上一步中被删掉了则独立。

具体怎么用这种方法写这道题我就不详细写了（因为有点麻烦，还比较容易出错），可以参考这篇文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/436214290

另一种比较简单的方法是D-分离法，是参考https://wmathor.com/index.php/archives/1521/这篇文章总结出来的

记住这三个图：

同父结构和顺序结构

当c给定时，a和b独立，可以理解为a到b的路径没有被阻断V型结构

与上面两种情况相反，当c没有给定时，a和b独立

所以如果我们要判断两个节点AB是否独立，就需要判断是不是所有从A到B的路径都被阻断，如果是则AB独立，反之，存在一条路径未被阻断，则AB不独立。

考虑所有从A到B的路径，如果路径上的节点存在以下两种情况，路径被阻断，AB独立：

该节点给定，且是顺序结构或同父结构该节点未给定，是V型结构

注：在寻找A到B的路径时视为无向图，判断结点属于什么结构时视为有向图

下面根据该题详细解释一下步骤

1、A ⊥ ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ \perp \!\!\! \perp ⊥⊥B

A与B直接相连，显然A和B是不独立的（存在A到B的一条通路）

2、A ⊥ ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ \perp \!\!\! \perp ⊥⊥D | {B , H}

判断AD是否独立，我们需要找出所有从A到D的路径

A-B-D

可以看出这条路径上B节点是属于顺序结构的，而B已经给定，符合第一点，说明该路径被阻断；A-F-G-D

该路径中F结点属于顺序结构，未给定，所以没有阻断；

G结点属于V型结构，未给定，符合第二点，所以该路径也被阻断；A-F-G-H-E-B-D

这条路径中F和G都属于未给定的顺序结构，不存在阻断；

H属于给定的V型结构，也不存在阻断；

E属于未给定的同父结构，不阻断；

B属于给定的顺序结构，符合第一点，这条路径也被阻断

所以所有A到D的路径都被阻断了，因此A和D是独立的

3、G ⊥ ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ \perp \!\!\! \perp ⊥⊥E | B

同理，寻找G到E的路径

G-H-E

H属于未给定的V型结构，符合第二点，该路径被阻断；G-D-B-E

D属于未给定的顺序结构，不阻断；B属于给定的顺序结构，符合第一点，该路径被阻断；G-F-A-B-E

F属于未给定的顺序，不阻断；A属于未给定的同父，不阻断；B属于给定的V，不阻断；

所以该路径可以连通G和E

故G和E是不独立的

4、F ⊥ ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ \perp \!\!\! \perp ⊥⊥C | D

寻找F到C的路径

F-A-B-C

A属于未给定的同父，不阻断；B属于未给定的V型结构，符合第二点，该路径被阻断；F-G-D-B-C

G属于未给定的V型，符合第二点，该路径被阻断；F-G-H-E-B-C

G属于未给定的顺序，不阻断；H属于未给定的V型，符合第二点，被阻断；

所以F和C是独立的

5、C ⊥ ⁣ ⁣ ⁣ ⊥ \perp \!\!\! \perp ⊥⊥H | G

寻找C到H的路径

C-B-E-H

B属于未给定的V型，被阻断；C-B-D-G-H

B和D都属于未给定的顺序，不阻断；G属于给定的顺序，被阻断；C-B-A-F-G-H

B属于未给定的V型，被阻断；

因此C和H是独立的

（22年春期末）判断下列变量之间的独立性(B,E l C)，(A,D)，(A,D I B)，(A,D I B,C)

(B,E l C)

BE之间存在C是给定的顺序，所以被阻断（两条路径都是），所以 (B,E | C)独立；(A,D)

AD之间存在B是未给定的顺序结构，存在A-B-D这条通路，所以 (A,D)不独立，即使A-B-C-D被B阻断；(A,D I B)

给定了B，则A-B-D这条路被阻断，但A-B-C-D这条路是通的，所以 (A,D I B)不独立；(A,D I B,C)

给定了BC，很显然两条路都被阻断了，所以 (A,D I B)独立；

大概就是这么个判断方式，只要找到满足那两个条件的结点，这条路径就被阻断，如果所有路径都被阻断，那么两个结点就是独立的。

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参考文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/436214290

https://zhuanlan.zhihu.com/p/274314301