高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）是一种<code>概率模型，用于表示由多个高斯分布（正态分布）组成的复杂分布。

谱学习算法（Spectral Learning Algorithms）是一类利用线性代数中的矩阵分解技术来估计模型参数的方法，在自然语言处理、机器学习等领域有广泛的应用。

高斯混合模型（GMM）

目标公式：

给定一组观测数据

{

x

i

}

\{x_i\}

{ xi​}，GMM 可以用以下混合密度函数来描述：

p

(

x

∣

θ

)

=

∑

k

=

1

K

π

k

N

(

x

∣

μ

k

,

Σ

k

)

p(x|\theta) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k)

p(x∣θ)=k=1∑K​πk​N(x∣μk​,Σk​)

其中，

x

x

x 是一个观测样本。

K

K

K 是混合成分的数量。

π

k

\pi_k

πk​ 是第

k

k

k 个高斯分布的权重，满足

∑

k

=

1

K

π

k

=

1

\sum_{k=1}^{K} \pi_k = 1

∑k=1K​πk​=1。

N

(

x

∣

μ

k

,

Σ

k

)

\mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k)

N(x∣μk​,Σk​) 表示均值为

μ

k

\mu_k

μk​、协方差矩阵为

Σ

k

\Sigma_k

Σk​ 的第

k

k

k 个高斯分布的概率密度函数。

涉及到的公式及其作用：

高斯分布的概率密度函数：

N

(

x

∣

μ

k

,

Σ

k

)

=

1

(

2

π

)

D

/

2

∣

Σ

k

∣

1

/

2

exp

⁡

(

−

1

2

(

x

−

μ

k

)

T

Σ

k

−

1

(

x

−

μ

k

)

)

\mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma_k|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu_k)^T\Sigma_k^{-1}(x-\mu_k)\right)

N(x∣μk​,Σk​)=(2π)D/2∣Σk​∣1/21​exp(−21​(x−μk​)TΣk−1​(x−μk​))

D

D

D 是数据的维度。

∣

Σ

k

∣

|\Sigma_k|

∣Σk​∣ 是协方差矩阵的行列式。

Σ

k

−

1

\Sigma_k^{-1}

Σk−1​ 是协方差矩阵的逆矩阵。

(

x

−

μ

k

)

T

(x-\mu_k)^T

(x−μk​)T 是向量

x

−

μ

k

x-\mu_k

x−μk​ 的转置。

谱学习算法

谱学习算法通常利用矩阵或张量的特征结构来估计模型参数。

对于 GMM，谱方法可以避免期望最大化（EM）算法的局部最优问题，提供一种全局最优的解法。

谱学习算法的步骤：

构造低阶矩矩阵：通常使用样本的低阶统计信息（如一阶、二阶矩）来构造矩阵。

M

=

E

[

x

x

T

]

M = E[x x^T]

M=E[xxT]

这里

M

M

M 是样本的二阶矩矩阵，

E

[

⋅

]

E[\cdot]

E[⋅] 表示期望操作。

特征值分解：对矩阵

M

M

M 进行特征值分解，得到特征向量和特征值。

M

=

U

Λ

U

T

M = U \Lambda U^T

M=UΛUT

U

U

U 是特征向量矩阵。

Λ

\Lambda

Λ 是对角线上包含特征值的矩阵。

估计 GMM 参数：从特征向量和特征值中估计出高斯混合模型的参数

μ

k

\mu_k

μk​、

Σ

k

\Sigma_k

Σk​ 和

π

k

\pi_k

πk​。

由于谱学习算法的具体实现细节可能会因不同的场景而有所变化，所以具体的参数估计过程会有所不同。

但大体上，谱学习算法会利用矩阵的特征值和特征向量与 GMM 参数之间的关系来进行估计。