在数学建模中，我们拿到的数据经常会有缺失值，在缺失值不是很多的情况下，我们在数据预处理阶段会采用插值方法来将数据补齐，之后再开始我们的建模。

目录

1.Matlab 实现分段线性插值

2.拉格朗日插值多项式 

3.牛顿（Newton）插值 

​编辑 4.埃尔米特(Hermite)插值 

1.Matlab 实现分段线性插值

Matlab 中有现成的一维插值函数 interp1。

y=interp1(x0,y0,x,'method')

method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为： 'nearest' 最近项插值， 'linear' 线性插值 'spline' 逐段 3 次样条插值， 'cubic' 保凹凸性 3 次插值。

所有的插值方法要求 x0 是单调的。

示例：

<code>% 已知的点（x坐标和对应的y坐标）

x = [1, 3, 5, 7, 9];

y = [2, 4, 6, 8, 10];

xi = 1:0.5:9; % 从1到9，步长为0.5

% 使用interp1函数进行线性插值

yi = interp1(x, y, xi, 'linear');

plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');

legend('原始点', '线性插值');

xlabel('x');

ylabel('y');

title('线性插值示例');

grid on;

disp('原始点y:');

disp(y);

disp('插值后yi:');

disp(yi);

2.拉格朗日插值多项式 

 首先构造一组基函数：

上式称为n 次 Lagrange 插值多项式。

Matlab 中没有现成的 Lagrange 插值函数，必须编写一个 M 文件实现 Lagrange 插值。 设n 个节点数据以数组 x0, y0输入（注意 Matlat 的数组下标从 1 开始），m 个插值 点以数组 x 输入，输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件： 

<code>function y=lagrange(x0,y0,x);

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=p*y0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

代入数据：

x0 = [1, 3, 5, 7, 9];

y0 = [2, 4, 6, 8, 10];

x = 1:0.5:9;

y=lagrange(x0,y0,x);

disp('原始点y0:');

disp(y0);

disp('插值后y:');

disp(y);

输出结果：

3.牛顿（Newton）插值 

运行程序：

<code>function yi = newtonInterpolation(x, y, xi)

n = length(x); % 已知数据点的数量

if n ~= length(y)

error('x和y的长度必须相等');

end

% 构建差分表

diffTable = zeros(n, n);

diffTable(:, 1) = y(:); % 第一列是y值

for j = 2:n

for i = 1:n-j+1

diffTable(i, j) = (diffTable(i+1, j-1) - diffTable(i, j-1)) / (x(i+j-1) - x(i));

end

end

if ~isvector(xi)

yi = diffTable(1, 1); % 插值多项式的常数项

for k = 2:n

p = 1;

for j = 1:k-1

p = p * (xi - x(j));

end

yi = yi + diffTable(1, k) * p;

end

else

yi = zeros(size(xi));

for i = 1:length(xi)

yi_temp = diffTable(1, 1); % 插值多项式的常数项

for k = 2:n

p = 1;

for j = 1:k-1

p = p * (xi(i) - x(j));

end

yi_temp = yi_temp + diffTable(1, k) * p;

end

yi(i) = yi_temp;

end

end

end

代入数据：

x = [0, 1, 2, 3, 4];

y = [1, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8];

xi =0:0.5:5;

yi = newtonInterpolation(x, y, xi);

% 绘图

plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');

legend('原始数据点', '牛顿插值');

xlabel('x');

ylabel('y');

title('牛顿插值示例');

grid on;

disp('原始点y:');

disp(y);

disp('插值后yi:');

disp(yi);

运行结果：

 4.埃尔米特(Hermite)插值 

 如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是 Hermite 插值问题。

运行程序：

<code>function y=hermite(x0,y0,y1,x);

n=length(x0);m=length(x);

for k=1:m

yy=0.0;

for i=1:n

h=1.0;

a=0.0;

for j=1:n

if j~=i

h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;

a=1/(x0(i)-x0(j))+a;

end

end

yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));

end

y(k)=yy;

end

代入数据：

x0=[0.1, 0.2,0.3,0.4,0.5];

y0=[1,2,3,4,5];

y1=[2,4,6,8,10];

xi =0:0.5:5;

yi = hermite(x0, y0,y1, xi);

% 绘图

plot(x0, y0, 'o', xi, yi, '-');

legend('原始数据点', 'hermite插值');

xlabel('x');

ylabel('y');

grid on;

disp('原始点y0:');

disp(y0);

disp('插值后yi:');

disp(yi);

运行结果：