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 学习编程就得循环渐进，扎实基础，勿在浮沙筑高台  

 循环渐进Forward-CSDN博客

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Hello,这里是kiki，今天继续更新C++部分，我们继续来扩充我们的知识面，我希望能努力把抽象繁多的知识讲的生动又通俗易懂，今天要讲的是C++AVL树~

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目录

 循环渐进Forward-CSDN博客

AVL树的概念

AVL树节点的定义

AVL树的插入

AVL树的旋转

AVL树的验证 

AVL树的删除(了解)

AVL树的性能

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AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但

如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右

子树高度之差的绝对值不超过

1(

需要对树中的结点进行调整

)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是

AVL

树

左右子树高度之差

(

简称平衡因子

)

的绝对值不超过

1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是

AVL

树。如果它有

n

个结点，其高度可保持在

，搜索时间复杂度

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AVL树节点的定义

<code>template<class T>

struct AVLTreeNode

{

AVLTreeNode(const T& data)

    : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)

, _data(data), _bf(0)

{}

AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子

AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子

AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲

T _data;

int _bf;                  // 该节点的平衡因子

};

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AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

1.

按照二叉搜索树的方式插入新节点

2.

调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)

{

while (pParent)

{

       // 更新双亲的平衡因子

if (pCur == pParent->_pLeft)

pParent->_bf--;

else

pParent->_bf++;

// 更新后检测双亲的平衡因子

if (0 == pParent->_bf)

      {    

           break;

      }

else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)

{

             // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲

为根的二叉树

             // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整

pCur = pParent;

pParent = pCur->_pParent;

}

else

{

 if(2 == pParent->_bf)

            {

                 // ...

            }

             else

            {

                 // ...

            }

}

}

return true;

}

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AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.

新节点插入较高左子树的左侧

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左左：右单旋

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2.

新节点插入较高右子树的右侧

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右右：左单旋

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3.

新节点插入较高左子树的右侧

---左右：先左单旋再右单旋        

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将双旋变成单旋后再旋转，即：

先对

30

进行左单旋，然后再对

90

进行右单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

<code>// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进

行调整

void _RotateLR(PNode pParent)

{

PNode pSubL = pParent->_pLeft;

PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

   

   // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节

点的平衡因子

int bf = pSubLR->_bf;

   

   // 先对30进行左单旋

_RotateL(pParent->_pLeft);

   

   // 再对90进行右单旋

_RotateR(pParent);

if(1 == bf)

pSubL->_bf = -1;

else if(-1 == bf)

pParent->_bf = 1;

}

4.

新节点插入较高右子树的左侧

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右左：先右单旋再左单旋

参考右左双旋。

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

       1、当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋

        2、当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

        1、当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

        2、当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

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AVL树的验证 

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1.

验证其为二叉搜索树

        1、如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2.

验证其为平衡树

        1、每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)

        2、节点的平衡因子是否计算正确

<code>int _Height(PNode pRoot);

bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)

{

// 空树也是AVL树

if (nullptr == pRoot) return true;

   

// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差

int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);

int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);

int diff = rightHeight - leftHeight;

// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者

// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树

if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))

return false;

// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树

return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-

>_pRight);

}

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AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

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AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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