堆（Heap）的基本概念

堆是一种完全二叉树（Complete Binary Tree），其性质使得堆可以高效地支持以下操作：

<li>插入（Insert）：将一个新元素加入到堆中。
• 删除最大/最小元素（Delete Max/Min）：移除并返回堆中的最大（大根堆）或最小（小根堆）元素。
• 获取最大/最小元素（Get Max/Min）：返回堆中的最大（大根堆）或最小（小根堆）元素。

大根堆（Max-Heap）

特性：

• 每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
• 根节点是堆中最大的元素。

插入操作：

1. 将新元素插入到树的最底层的最后位置（保持完全二叉树的性质）。
2. 进行“上浮”操作，将新元素逐步与其父节点交换，直到堆的性质恢复或到达根节点为止。

删除最大元素：

1. 移除根节点。
2. 将最后一个元素移动到根位置。
3. 进行“下沉”操作，将根节点逐步与其较大的子节点交换，直到堆的性质恢复或到达叶子节点为止。

小根堆（Min-Heap）

特性：

• 每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
• 根节点是堆中最小的元素。

插入操作：

1. 将新元素插入到树的最底层的最后位置（保持完全二叉树的性质）。
2. 进行“上浮”操作，将新元素逐步与其父节点交换，直到堆的性质恢复或到达根节点为止。

删除最小元素：

1. 移除根节点。
2. 将最后一个元素移动到根位置。
3. 进行“下沉”操作，将根节点逐步与其较小的子节点交换，直到堆的性质恢复或到达叶子节点为止。

C++ 示例代码

以下是详细的 C++ 示例代码，展示如何实现大根堆和小根堆：

<code>#include <iostream>

//在c++中，使用优先队列需要包含queue这个头文件

#include <queue>

#include <vector>

// 大根堆（默认行为）

void maxHeapExample() {

// 创建一个大根堆

std::priority_queue<int> maxHeap;

// 插入元素

maxHeap.push(10);

maxHeap.push(20);

maxHeap.push(5);

maxHeap.push(15);

std::cout << "Max-Heap (大根堆): ";

// 输出并删除堆顶元素

while (!maxHeap.empty()) {

std::cout << maxHeap.top() << " "; // 获取堆顶元素

maxHeap.pop(); // 删除堆顶元素

}

std::cout << std::endl;

}

// 小根堆

void minHeapExample() {

// 自定义比较函数，逆序（大根堆），实现小根堆

auto cmp = [](int left, int right) { return left > right; };

std::priority_queue<int, std::vector<int>, decltype(cmp)> minHeap(cmp);

// 插入元素

minHeap.push(10);

minHeap.push(20);

minHeap.push(5);

minHeap.push(15);

std::cout << "Min-Heap (小根堆): ";

// 输出并删除堆顶元素

while (!minHeap.empty()) {

std::cout << minHeap.top() << " "; // 获取堆顶元素

minHeap.pop(); // 删除堆顶元素

}

std::cout << std::endl;

}

int main() {

maxHeapExample();

minHeapExample();

return 0;

}

代码解释

<li>大根堆（Max-Heap）：
• std::priority_queue<int> 默认是大根堆。priority_queue 是 STL 提供的容器适配器，基于堆实现。
• 插入元素使用 push()，获取堆顶元素使用 top()，删除堆顶元素使用 pop()。
1. 小根堆（Min-Heap）：
   • 通过自定义比较函数来实现小根堆。std::priority_queue 的构造函数允许传递自定义的比较函数。
   • auto cmp = [](int left, int right) { return left > right; }; 是一个 lambda 表达式，用于将小根堆的比较函数定义为 left > right。
   • 构造 priority_queue 时，传递 cmp 作为比较函数，这样就会形成小根堆。

小根堆的实现细节与第二种实现方式

在 C++ 的 priority_queue 中，如果你不显式地提供第二个模板参数（即底层容器类型），它会默认使用 std::vector 作为底层容器。这意味着，你可以只指定元素类型和比较函数（或者不指定比较函数，使用默认的比较方式），而不必显式地指定底层容器类型。

示例：

#include <iostream>

#include <queue>

struct Compare {

bool operator()(int left, int right) {

// 小根堆的比较规则：左边的值小于右边的值返回 true

return left > right;

}

};

void minHeapExample() {

// 不显式指定底层容器类型，仍然会使用默认的 std::vector<int>

std::priority_queue<int, std::vector<int>, Compare> minHeap;

// 插入元素

minHeap.push(10);

minHeap.push(20);

minHeap.push(5);

minHeap.push(15);

std::cout << "Min-Heap (小根堆): ";

// 输出并删除堆顶元素

while (!minHeap.empty()) {

std::cout << minHeap.top() << " "; // 获取堆顶元素

minHeap.pop(); // 删除堆顶元素

}

std::cout << std::endl;

}

int main() {

minHeapExample();

return 0;

}

解释：

• 在 std::priority_queue<int, std::vector<int>, Compare> minHeap; 中，我们没有显式地提供第二个模板参数（底层容器类型），因此默认使用 std::vector<int>。
• 这样做的好处是简化了代码，使其更具可读性，并且仍然能够正常使用小根堆的功能。
• 如果你想要使用除了 std::vector 以外的其他底层容器，你可以显式地指定第二个模板参数，例如 std::deque<int> 或者其他适合的容器类型。

因此，答案是：可以不显式提供第二个模板参数 std::vector<int>，priority_queue 能够识别到并使用默认的 std::vector 作为底层容器类型。

比较规则的解释

在 C++ 的 priority_queue 中，如果我们想要实现一个小根堆（Min Heap），是使用 left > right 的比较规则。

比较规则解释：

1. 小根堆（Min Heap）：

   • 在小根堆中，父节点的值应该小于或等于每个子节点的值。
   • 因此，在 C++ 的 priority_queue 中，应该使用比较函数或者仿函数，确保 left 比 right 大，即 left > right。

2. 大根堆（Max Heap）：

   • 在大根堆中，父节点的值应该大于或等于每个子节点的值。
   • 因此，比较函数应该返回 left < right。

示例解释：

如果要实现一个小根堆，确保堆顶元素是最小的，比较函数应该是这样定义的：

struct MinHeapComparator {

bool operator()(int left, int right) {

return left > right;

}

};

int main() {

std::priority_queue<int, std::vector<int>, MinHeapComparator> minHeap;

minHeap.push(10);

minHeap.push(2);

minHeap.push(1);

minHeap.push(4);

minHeap.push(13);

while (!minHeap.empty()) {

int t = minHeap.top();

minHeap.pop();

std::cout << t << " ";

}

return 0;

}

在这个示例中，MinHeapComparator 是一个仿函数，它实现了小根堆的比较规则 left > right，确保了堆顶的元素是最小的。

总结：

对于小根堆的实现，确实应该使用 left > right 的比较规则。这个比较规则确保了在堆中，父节点的值小于或等于每个子节点的值，从而满足小根堆的特性。