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📚 系列专栏: 运动控制 | 决策规划 | 机器人数值优化 📚

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文章目录

引言一、非线性弹簧系统示例1.1 系统描述1.2 控制目标1.3 系统动态方程1.4 误差函数与控制目标

二、反步控制器设计2.1 李雅普诺夫函数的应用2.2 新的误差函数与控制目标2.3 李雅普诺夫函数的扩展2.4 控制器增益的设计2.5 输入表达式推导

三、系统验证3.1 误差函数的动态方程3.2 反馈线性化3.3 状态特征值分析3.4 系统平衡点稳定性

四、Simulink仿真4.1 Simulink模型构建4.2 动态方程实现4.3 输入信号构建4.4 期望值子系统设计4.5 仿真结果分析(1) 单目标值追踪(2) 多目标值追踪(3) 波动与振荡效果测试(4) 综合效果分析

五、Matlab实现六、总结参考资料

引言

欢迎光临博主的高级控制系统课程系列博客！在这篇文章中，博主将带领大家深入探讨非线性反步控制的奥秘，涵盖了非线性控制器设计的基础知识。

本篇博客内容可谓干货满满，将迎来一系列复杂的数学推导，细致地从头到尾推导了所有相关公式，并将这些结果在 <code>Simulink 中进行验证，理论与实际完美契合！

因此，请各位读者准备好纸笔，跟随博主一起开启这场数学与控制理论交织的思维之旅。前方高能预警，让一起挑战自我，享受知识带来的乐趣吧！

一、非线性弹簧系统示例

先以一个非线性弹簧系统作为控制理论的应用实例开始。

1.1 系统描述

非线性弹簧系统中，小滑块的质量为

m

m

m ，弹簧的系数为

α

\alpha

α，受一个向右的力，

F

F

F 向右的方向为

x

x

x 正方向，其动态方程可以写成

m

x

¨

+

α

x

3

=

F

m \ddot { x } + \alpha x ^ { 3 } = F

mx¨+αx3=F因为有一个非线性弹簧的力存在，所以是非线性系统。

1.2 控制目标

通过改变

F

F

F ，使小滑块儿按照一条指定的轨迹来进行移动。

1.3 系统动态方程

令：

F

=

u

F = u

F=u 代表输入

x

1

=

x

x_1=x

x1​=x 代表位移

x

2

=

x

˙

x_2=\dot x

x2​=x˙ 代表速度

目标是令

x

1

x_1

x1​ 趋向于

x

d

x_d

xd​，而这个

d

d

d 代表了 desired ，就是一条规定的轨迹，这就是目标。

重新把它整理一下，变成

x

˙

1

=

x

˙

=

x

2

x

˙

2

=

x

¨

=

−

α

m

x

3

+

1

m

u

\begin{align} \dot{x}_1&=\dot{x}=x_2 \tag{1}\\ \dot{x}_2&=\ddot{x}=-\frac{\alpha}{m}x^3+\frac{1}{m}u \tag{2} \\ \end{align}

x˙1​x˙2​​=x˙=x2​=x¨=−mα​x3+m1​u​(1)(2)​ 分析一下这个式子，看到在这里面有一个

u

u

u ，可以通过改变

u

u

u ，也就是改变系统的输入来控制

x

2

x_2

x2​。而通过控制

x

2

x_2

x2​ ，在这个式子当中又可以反向控制

x

1

x_1

x1​，这也非常好理解，可以通过作用在滑块上的力

F

F

F 来控制滑块本身的速度，而这个速度将最终导致滑块所停留的位置改变。

这样的形式叫做链式系统，其实这样的系统在现实当中有很多。比如

空调系统：是通过电扇的转速和加热器的开关来控制向外发出空气的温度，从而最终导致屋内室温的变化。油门系统：通过踩油门来控制进油量，最终控制汽车的速度。

1.4 误差函数与控制目标

这时引入误差函数

e

e

e

e

=

x

1

d

−

x

1

(3)

e = x _ { 1d } - x _ { 1 } \tag{3}

e=x1d​−x1​(3)

这个情况下目标就发生了改变，希望

e

→

0

e\rightarrow0

e→0，因为

e

e

e 等于

0

0

0 的话，就说明

x

1

x_1

x1​ 是在跟踪

x

1

d

x _{1d}

x1d​ 的，而

e

e

e 随时间变化，可以对

e

e

e 求导

e

˙

=

x

˙

1

d

−

x

˙

1

\dot { e } = \dot x _ { 1 d } - \dot { x } _ { 1 }

e˙=x˙1d​−x˙1​

把

(

2

)

( 2 )

(2) 式代入，就等于

e

˙

=

x

˙

1

d

−

x

2

(4)

\dot { e } = \dot x _ { 1 d } - { x } _ { 2 }\tag{4}

e˙=x˙1d​−x2​(4)

这个式子比较重要，因为目标是让

e

e

e 趋向于

0

0

0 。

二、反步控制器设计

2.1 李雅普诺夫函数的应用

可以寻找一个李亚普诺夫函数

V

(

e

)

V(e)

V(e)，使得

V

(

e

)

V(e)

V(e) 是正定的，而

V

˙

(

e

)

\dot V(e)

V˙(e) 是负定的，这样就可以最终得出来

e

e

e 趋向于

0

0

0 的结论。

这时不妨设

V

1

=

1

2

e

2

(5)

V _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } \tag{5}

V1​=21​e2(5) 就是选取的第一个李雅普诺夫函数，很显然它是正定函数，因为只有在

e

e

e 等于

0

0

0 时，

V

1

V_1

V1​ 才等于

0

0

0 ，其他时候

V

1

V_1

V1​ 都是大于

0

0

0 的

V

˙

1

=

∂

V

1

∂

e

⋅

d

e

d

t

=

e

e

˙

=

e

(

x

˙

1

d

−

x

2

)

(6)

\dot { V } _ { 1 } = \frac { \partial V _ { 1 } } { \partial e } \cdot \frac { d e } { d t } = e \dot { e } ^ { } = e ( \dot x _ { 1d }- x _ { 2 } )\tag{6}

V˙1​=∂e∂V1​​⋅dtde​=ee˙=e(x˙1d​−x2​)(6) 因为希望

e

e

e 趋向于

0

0

0 ，自然希望

V

˙

1

\dot V_1

V˙1​ 是一个负定的系统，所以就可以利用这一项设计

x

˙

1

d

−

x

2

=

−

k

1

e

\dot x _ { 1d }- x _ { 2 } =-k_1e

x˙1d​−x2​=−k1​e其中，控制器增益

k

1

>

0

k_1>0

k1​>0。

此时

V

˙

1

=

−

k

1

e

2

\dot{V}_1=-k_1e^2

V˙1​=−k1​e2很明显是负定函数。

如何实现让它等于

−

k

1

e

2

-k_1e^2

−k1​e2？

可以利用

x

2

x_2

x2​：

x

2

d

=

x

˙

1

d

+

k

1

e

(7)

x _ { 2 d } = \dot x _ { 1 d} + k _ { 1 } e\tag{7}

x2d​=x˙1d​+k1​e(7)其中，

x

2

d

x_{2d}

x2d​ 就是

x

2

x_2

x2​ 的期望值，也就是说当

x

2

d

=

x

2

x_{2d}=x_2

x2d​=x2​ 时，

V

˙

1

=

−

k

1

e

2

\dot{V}_1=-k_1e^2

V˙1​=−k1​e2。

2.2 新的误差函数与控制目标

这时新的目标就产生了，需要令

x

2

→

x

2

d

x _ { 2 } \rightarrow x _ { 2d }

x2​→x2d​ 。可以再引入一个误差函数

δ

=

x

2

d

−

x

2

(8)

\delta = x _ { 2d } - x _ { 2 }\tag{8}

δ=x2d​−x2​(8)这时候把

(

8

)

(8)

(8) 式带入到

(

6

)

(6)

(6) 式当中，可以得到新的

V

˙

1

\dot V_1

V˙1​

V

˙

1

=

e

(

x

˙

1

d

−

(

x

2

d

−

δ

)

)

\dot { V } _ { 1 } = e ( \dot { x } _ { 1d } - ( x _ { 2d } - \delta ) )

V˙1​=e(x˙1d​−(x2d​−δ))

把

x

2

d

x_{2d}

x2d​ 再代入，把

(

7

)

(7)

(7) 式代入

V

˙

1

=

−

k

1

e

2

+

e

δ

(9)

\dot { V } _ { 1 } = - k _ { 1 } e ^ { 2 } + e \delta \tag{9}

V˙1​=−k1​e2+eδ(9)这时来分析一下

δ

\delta

δ 的变化

δ

˙

=

x

˙

2

d

−

x

˙

2

\dot { \delta } = \dot x _ { 2d } - \dot { x } _ { 2 }

δ˙=x˙2d​−x˙2​把

(

2

)

(2)

(2) 式带入，同时也把

(

7

)

(7)

(7) 式带入

δ

˙

=

x

¨

1

d

+

k

1

e

˙

−

(

−

α

m

x

1

3

+

1

m

u

)

\dot { \delta } = \ddot { x} _ { 1 d} + k _ { 1 } \dot { e } - ( - \frac { \alpha } { m } x _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 1 } { m } u )

δ˙=x¨1d​+k1​e˙−(−mα​x13​+m1​u)带入

(

4

)

(4)

(4) 式，消到

e

˙

\dot e

e˙，就就可以得到

δ

˙

=

x

¨

1

d

+

k

1

(

x

˙

1

d

−

x

2

)

+

α

m

x

1

3

−

1

m

u

(10)

\dot { \delta } =\ddot x _ { 1 d} + k _ { 1 } ( \dot { x } _ { 1 d} - x _ { 2 } ) + \frac { \alpha } { m } x _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 1 } { m } u\tag{10}

δ˙=x¨1d​+k1​(x˙1d​−x2​)+mα​x13​−m1​u(10) 这时候目标，新的目标使得系统稳定，就希望

δ

,

e

\delta,e

δ,e 都趋向于零。也就是说要找到一个新的里阿普诺夫函数

V

(

e

,

δ

)

V(e,\delta)

V(e,δ)，里面包含了

e

e

e 和

δ

\delta

δ ，使得它是正定函数，而且同时满足

V

˙

(

e

,

δ

)

\dot V(e,\delta)

V˙(e,δ) 是负定的。

2.3 李雅普诺夫函数的扩展

不妨构造新的李雅普诺夫函数

V

2

=

V

1

+

1

2

δ

2

V _ { 2 } = V _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \delta ^ { 2 }

V2​=V1​+21​δ2前面已经验证过了

V

1

V_1

V1​ 是一个正定的系统，而后面这一项

1

2

δ

2

\frac { 1 } { 2 } \delta ^ { 2 }

21​δ2 也是正定的，所以整个来说，

V

2

V_2

V2​ 就是正定的，这时对

V

2

V_2

V2​ 求导

V

2

˙

=

V

1

˙

+

δ

δ

˙

\dot { V _ { 2 } } = \dot { V _ { 1 } } + \delta \dot { \delta }

V2​˙​=V1​˙​+δδ˙代入

(

9

)

(9)

(9) 式，这时

V

˙

2

=

−

k

1

e

2

+

e

δ

+

δ

δ

˙

=

−

k

1

e

2

+

δ

(

e

+

δ

˙

)

\dot V _ { 2 } = - k _ { 1 } e ^ { 2 } + e \delta + \delta \dot \delta = - k _ { 1 } e ^ { 2 } + \delta ( e + \dot { \delta } )

V˙2​=−k1​e2+eδ+δδ˙=−k1​e2+δ(e+δ˙)

2.4 控制器增益的设计

从上式可见，

−

k

e

2

-ke^2

−ke2 是负定系统，而后面这一项

δ

(

e

+

δ

˙

)

\delta ( e + \dot { \delta } )

δ(e+δ˙) 当然也希望是负定的，所以就可以设计

e

+

δ

˙

=

−

k

2

δ

e + \dot { \delta } =-k_2\delta

e+δ˙=−k2​δ 其中，

k

2

k_2

k2​ 也是大于

0

0

0 的控制器增益，这样

V

˙

2

=

−

k

1

e

2

−

k

2

δ

2

\dot{V}_2=-k_1e^2-k_2\delta ^2

V˙2​=−k1​e2−k2​δ2所以新的目标就是让

e

+

δ

˙

=

−

k

2

δ

e + \dot { \delta } =-k_2\delta

e+δ˙=−k2​δ。

2.5 输入表达式推导

这时把

(

10

)

(10)

(10) 代进去可以得到

e

+

x

¨

1

d

+

k

1

(

x

˙

1

d

−

x

2

)

+

α

m

x

1

3

−

1

m

u

=

−

k

2

δ

e + \ddot x _ { 1d }+ k _ { 1 } ( \dot x _ { 1 d} - x _ { 2 } ) + \frac { \alpha } { m } x _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 1 } { m } u = - k _ { 2 } \delta

e+x¨1d​+k1​(x˙1d​−x2​)+mα​x13​−m1​u=−k2​δ这时就可以推出来

u

=

m

e

+

m

x

¨

1

d

+

m

k

1

(

x

˙

1

d

−

x

2

)

+

α

x

1

3

+

m

k

2

δ

(11)

u = m e + m \ddot x _ { 1 d } + m k _ { 1 } ( \dot x _ { 1d } - x _ { 2 } ) + \alpha x _ { 1 } ^ { 3 } + m k _ { 2 } \delta\tag{11}

u=me+mx¨1d​+mk1​(x˙1d​−x2​)+αx13​+mk2​δ(11)经过了一系列的计算，这是最终想要得到的输入表达形式。

三、系统验证

下面来验证一下。

3.1 误差函数的动态方程

可以把

(

8

)

(8)

(8) 式代入

(

4

)

(4)

(4) 式，这时就可以得到

e

˙

=

x

˙

1

d

−

(

x

2

d

−

δ

)

\dot { e } = \dot x _ { 1d }- ( x _ { 2 d } - \delta )

e˙=x˙1d​−(x2d​−δ)这时再把

(

7

)

(7)

(7) 式

x

2

d

=

x

˙

1

d

+

k

1

e

x _ { 2 d } = \dot x _ { 1 d} + k _ { 1 } e

x2d​=x˙1d​+k1​e 代入，就可以新的得到

e

˙

=

−

k

1

e

+

δ

\dot { e } = - k _ { 1 } e + \delta

e˙=−k1​e+δ再把

(

11

)

(11)

(11) 式带回到

(

10

)

(10)

(10) 式，就可以得到

δ

˙

=

x

¨

1

d

+

k

1

(

x

˙

1

d

−

x

2

)

+

α

m

x

1

3

−

e

−

x

¨

1

d

−

k

1

(

x

˙

1

d

−

x

2

)

−

α

x

1

3

−

k

2

δ

=

−

e

−

k

2

δ

\begin{aligned} \dot{\delta}&=\ddot{x}_{1d}+k_1\left( \dot{x}_{1d}-x_2 \right) +\frac{\alpha}{m}x_{1}^{3}-e\\ &\ \ \ \ \ -\ddot{x}_{1d}-k_1\left( \dot{x}_{1d}-x_2 \right) -\alpha x_{1}^{3}-k_2\delta\\ &=-e-k_2\delta\\ \end{aligned}

δ˙​=x¨1d​+k1​(x˙1d​−x2​)+mα​x13​−e     −x¨1d​−k1​(x˙1d​−x2​)−αx13​−k2​δ=−e−k2​δ​

3.2 反馈线性化

把它们两个写在一起

[

e

˙

δ

˙

]

=

[

−

k

1

1

−

1

−

k

2

]

[

e

δ

]

\left[ \begin{array}{c} \dot{e}\\ \dot{\delta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} -k_1& 1\\ -1& -k_2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} e\\ \delta\\ \end{array} \right]

[e˙δ˙​]=[−k1​−1​1−k2​​][eδ​] 可以发现这是线性系统，所以整个过程就是通过反馈系统把它线性化 ( Feedback Linurization )了。

3.3 状态特征值分析

分析一下这个式子，对于这个系统来说，它的状态特征值

λ

1

+

λ

2

=

Λ

=

−

k

1

−

k

2

<

0

λ

1

⋅

λ

2

=

∣

−

k

1

1

−

1

−

k

2

∣

=

k

1

k

2

+

1

>

0

\begin{matrix} \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } = \Lambda = - k _ { 1 } - k _ { 2 } < 0 \\ \lambda _ { 1 } \cdot \lambda _ { 2 } = \left| \begin{matrix} -k_1& 1\\ -1& -k_2\\ \end{matrix} \right| = k _ { 1 } k _ { 2 } + 1 > 0 \end{matrix}

λ1​+λ2​=Λ=−k1​−k2​<0λ1​⋅λ2​=

​−k1​−1​1−k2​​

​=k1​k2​+1>0​所以可以推出

λ

1

,

λ

2

\lambda_1,\lambda_2

λ1​,λ2​ 一定是同号，并且都小于

0

0

0 。

3.4 系统平衡点稳定性

再来看关于这个系统的平衡点，也就是

[

e

˙

δ

˙

]

=

0

⇒

[

e

δ

]

=

0

\left[ \begin{array}{c} \dot{e}\\ \dot{\delta}\\ \end{array} \right] =0\Rightarrow \left[ \begin{array}{c} e\\ \delta\\ \end{array} \right] =0

[e˙δ˙​]=0⇒[eδ​]=0就是它的平衡点是零点，而因为特征值都小于

0

0

0 ，所以它是渐进稳定的系统。

OK ，所有的问题都已经验证成功。

四、Simulink仿真

现在进入到 Simulink 当中来看一下整个系统的反应。下载链接如下：

链接：Simulink仿真文件

提取码：jjcc

4.1 Simulink模型构建

现在进入到 MATLAB Simulink 里：

4.2 动态方程实现

下面具体看一下

这一部分是系统的动态方程，有两个积分器，所以经过积分可分别得到

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1​,x2​ 这里面就代表了系统方程，<code>-u(2)/u(1)*u(3)^3+1/u(1)*u(4) 而这个方程对应于刚刚推导的

(

2

)

(2)

(2) 式：

x

˙

2

=

−

α

m

x

3

+

1

m

u

(2)

\dot{x}_2=-\frac{\alpha}{m}x^3+\frac{1}{m}u \tag{2}

x˙2​=−mα​x3+m1​u(2)

4.3 输入信号构建

再看这一部分

这一部分就是系统输入，有很多项组成，可以在这里进行调节，由这一大堆式子来表明了

u

u

u 是怎么建立的：

<code>u(1)*u(3)+u(1)*u(11)+u(1)*u(4)*(u(10)-u(8))+u(2)*u(7)^3+u(1)*u(5)*u(6)

4.4 期望值子系统设计

再回到头看左上角的期望值子系统，就是系统的设定值，打开看一下它的样子：

这里把它写成了一个正弦曲线的方法，因为如果自己直接用 <code>Matlab 自带的 DDT 函数，就是 Derivative 模块的话，并不是一个很好的选择，因为它是用数值来解的，会出现无穷点，所以这部分自己写，因为考虑到是 sin 函数，所以这第一部分 sinx1 函数如下：

u(2)+u(3)*sin(u(1)*pi/u(4))

左侧第二个模块 u(2) 为重复序列阶梯(Repeating Sequence Stair)，u(3) Osc 为正弦函数的变化幅值，再乘以 sin 正弦函数。下面两个分别是它的导数以及二阶导数。

4.5 仿真结果分析

(1) 单目标值追踪

先来看一下，把正弦函数的变化幅值 Osc 设成

0

0

0 。假如就让目标值到

3

3

3 ，让

x

1

x_1

x1​ 的初始值是

0

0

0 ，这时候运行一下

这个 <code>scope 代表了

x

1

x_1

x1​ 和

x

1

d

x_{1d}

x1d​，

x

1

x_1

x1​ 是从

0

0

0 开始的，

3

3

3 是目标值，红线是目标，可以看到它很好地追踪到了黄线上。

(2) 多目标值追踪

这时改一下，把期望值改成有多个目标值的阶梯形式，比如 [3 5 7 2 1].'，再来做运行一下

可以看到也是非常好的追踪效果。

(3) 波动与振荡效果测试

再来改一下，加上一些 波动，都让它从

3

3

3 开始，但是存在以

10

10

10 秒为周期的波动。

所以这时来看红线是想要的，走一个正弦波的形状，蓝线也是非常好的追踪效果，很快地就追踪过去了。

这时的输入可想而知，也是类似正弦的效果：

(4) 综合效果分析

这时再把期望值的 <code>u(2) 复杂一点，比如说 [3 5 3 5 2].'，同样让它有一个正弦信号的波动，这样再来看

追踪的效果依然还是非常好的，看到大概在

5

5

5 秒左右时，就可以很完整地贴合过去，最终效果比较好，大家可以把它下载下来，以后自己尝试不同的组合玩一玩。而且大家可以修改质量块的质量，修改弹性系数，包括可以修改不同的控制器增益，看会有什么不同的反应。

五、Matlab实现

<code>%DSC example

%--------------------------------system-----------------------------------%code>

%dot_x1=x2

%dot_x2=-x1^2+u

%-------------------------------settings----------------------------------%

%initial state

%x1(0)=0.5，x2(0)=0

%sample time

%tao=0.01

%tracking target

%x_1d=[3 1 4 1 3]//interval time:20

%-------------------------------------------------------------------------%

%-------------------------------数据初始化--------------------------------%

%参数取值

k1=1;

k2=50;

%采样时间

tao=0.01;

%总采样次数

T=10000;

%总时间

total_time=tao*T; %观测时间设置为100秒

%定义初始状态

x1_initial=0.5;

x2_initial=0;

u_initial=0;

%定义状态变量矩阵和控制变量矩阵

x1=zeros(1,T);

x2=zeros(1,T);

u=zeros(1,T);

%x1d的定义

x1d=zeros(1,T);

for i=1:T/5

x1d(i)=3;

end

for i=T/5+1:2*T/5

x1d(i)=1;

end

for i=2*T/5+1:3*T/5

x1d(i)=4;

end

for i=3*T/5+1:4*T/5

x1d(i)=1;

end

for i=4*T/5+1:T

x1d(i)=3;

end

%x2d初始化

x2d=zeros(1,(T));

%x2_bar表示x2上面带杠杠

x2_bar=0;

for k=1:T

if k==1

x1(k)=x1_initial+tao*x2_initial;

x2(k)=x2_initial+tao*(-x1_initial^2+u_initial);

x2d(k)=x2_bar;

x2_bar=(x1d(k)-0)/tao-k1*(x1(k)-x1d(k));

u(k)=-(x1(k)-x1d(k))+x1(k)^2+(x2_bar-x2d(k))/tao-k2*(x2(k)-x2d(k));

else

x1(k)=x1(k-1)+tao*x2(k-1);

x2(k)=x2(k-1)+tao*(-x1(k-1)^2+u(k-1));

x2d(k)=x2_bar;

x2_bar=(x1d(k)-x1d(k-1))/tao-k1*(x1(k)-x1d(k));

u(k)=-(x1(k)-x1d(k))+x1(k)^2+(x2_bar-x2d(k))/tao-k2*(x2(k)-x2d(k));

end

end

figure(1),hold on;

plot(x1,'b','linewidth',1.2);

plot(x1d,'r','linewidth',1.2);

xlabel('时间/s');

ylabel('信号幅值');

title('动态面控制效果');

legend('x1','x1d')

set(gca,'xticklabel',0:10:100);

hold off;