目录

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

2.AVL树的插入

3.AVL树的旋转

4.AVL树的验证

三、AVL树的性能

四、完结撒❀

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但

如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下

。因此，两位俄罗斯的数学家

G.M.Adelson-Velskii

和

E.M.Landis

在

1962

年

发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右

子树高度之差的绝对值不超过

1(

需要对树中的结点进行调整

)

，即可降低树的高度，从而减少平均

搜索长度。

一棵

AVL

树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

● 它的左右子树都是

AVL

树

● 左右子树高度之差

(

简称平衡因子

)

的绝对值不超过

1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是

AVL

树。如果它有

n

个结点，其高度可保持在

O(log2 n)

，搜索时间复杂度

O(log2 n)

。

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class T>

struct AVLTreeNode

{

AVLTreeNode(const T& data)

: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)

, _data(data), _bf(0)

{}

AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子

AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子

AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲

T _data;

int _bf;                  // 该节点的平衡因子

};

2.AVL树的插入

AVL

树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此

AVL

树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL

树的插入过程可以分为两步：

1.

按照二叉搜索树的方式插入新节点

2.

调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)

{

// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

if (_root == nullptr)

{

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* parent = nullptr;

Node* cur = _root;

while (cur)

{

if (cur->_kv.first > kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

else if (cur->_kv.first < kv.first)

{

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

else

{

//插入相同值

return false;

}

}

//找到cur所在位置

cur = new Node(kv);

if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)

{

parent->_left = cur;

cur->_parent = parent;

}

else

{

parent->_right = cur;

cur->_parent = parent;

}

  // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否

//破坏了AVL树的平衡性

/*

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent

的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可

 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足

AVL树的性质，插入成功

  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此

时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新

  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

*/

//更新平衡因子

while (parent)

{

if (parent->_left == cur)

{

parent->_bf--;

}

else

{

parent->_bf++;

}

if (parent->_bf == 0)

{

//二叉树高度没问题，更新结束

break;

}

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)

{

  // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树

           // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)

{

//双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性

//二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡

//判断是右单旋还是左单旋还是双旋

//右单旋

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)

{

//...

}

//左单旋

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)

{

//...

}

//左右双旋

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)

{

//...

}

//右左双旋

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)

{

//...

}

}

else

{

//理论上不会出现这种状况

assert(false);

}

}

return true;

}

3.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的

AVL

树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同，

AVL

树的旋转分为四种：

1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

/*

 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左

子树增加

 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子

树增加一层，

 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有

右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点

的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

 2. 60可能是根节点，也可能是子树

    如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

    如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解

*/

void _RotateR(Node Parent)

{

// SubL: Parent的左孩子

// SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该

Node SubL = Parent->_Left;

Node SubLR = SubL->_Right;

// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子

Parent->_Left = SubLR;

// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲

if (SubLR)

SubLR->_Parent = Parent;

// 60 作为 30的右孩子

SubL->_Right = Parent;

// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲

Node Parent = Parent->_Parent;

// 更新60的双亲

Parent->_Parent = SubL;

// 更新30的双亲

SubL->_Parent = Parent;

// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针

if (NULL == Parent)

{

_root = SubL;

SubL->_Parent = NULL;

}

else

{

// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树

if (Parent->_Left == Parent)

Parent->_Left = SubL;

else

Parent->_Right = SubL;

}

// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子

Parent->_bf = SubL->_bf = 0;

}

2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

//左单旋

void LNode(Node* parent)

{

/*if (parent == _root)

{

Node* pparent = nullptr;

}

else

{

Node* pparent = parent->_parent;

}*/

Node* pparent = parent->_parent;

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

parent->_left = subRL;

if (subRL)

subRL->_parent = parent;

subR->_left = parent;

parent->_parent = subR;

if (pparent)

{

subR->_parent = pparent;

if (pparent->_left = parent)

{

pparent->_left = subR;

}

else

{

pparent->_right = subR;

}

}

else

{

_root = subR;

subR->_parent = nullptr;

}

parent->_bf = subR->_bf = 0;

}

3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：

先对

30

进行左单旋，然后再对

90

进行右单旋

，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进

//行调整

void _RotateLR(Node Parent)

{

Node SubL = Parent->_Left;

Node SubLR = SubL->_Right;

// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节

点的平衡因子

int bf = SubLR->_bf;

// 先对30进行左单旋

_RotateL(Parent->_Left);

// 再对90进行右单旋

_RotateR(Parent);

if (1 == bf)

SubL->_bf = -1;

else if (-1 == bf)

Parent->_bf = 1;

}

4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

//右左双旋

void RLNode(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

int bf = subRL->_bf;

RNode(parent->_right);

LNode(parent);

if (bf == 1)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

parent->_bf = -1;

}

else if (bf == -1)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 1;

parent->_bf = 0;

}

else if (bf == 0)

{

subRL->_bf = 0;

subR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else

{

//理论没有该状况

assert(false);

}

}

总结：

假如以

Parent

为根的子树不平衡，即

Parent

的平衡因子为

2

或者

-2

，分以下情况考虑

1）Parent

的平衡因子为

2

，说明

Parent

的右子树高，设

Parent

的右子树的根为

SubR

当

SubR

的平衡因子为

1

时，执行左单旋

当

SubR

的平衡因子为

-1

时，执行右左双旋

2）Parent

的平衡因子为

-2

，说明

Parent

的左子树高，设

Parent

的左子树的根为

SubL

当

SubL

的平衡因子为

-1

是，执行右单旋

当

SubL

的平衡因子为

1

时，执行左右双旋

旋转完成后，原

Parent

为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

4.AVL树的验证

AVL

树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证

AVL

树，可以分两步：

        1. 验证其为二叉搜索树

            如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

        2. 验证其为平衡树

            ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子

)

            ● 节点的平衡因子是否计算正确

int _size(Node* root)

{

return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1；

}

int _Height(Node* root)

{

if (root == nullptr)

{

return 0;

}

return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;

}

bool _IsBalance(Node* root)

{

if (root == nullptr)

{

return true;

}

int LeftHeight = _Height(root->_left);

int RightHeight = _Height(root->_right);

if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2)

{

return false;

}

//可以顺便再检查一下平衡因子

if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf)

{

cout << root->_kv.first << endl;

return false;

}

return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);

}

三、AVL树的性能

AVL

树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过

1

，这

样可以保证查询时高效的时间复杂度，即

log2 N

。但是如果要对

AVL

树做一些结构修改的操

作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，

有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数

据的个数为静态的

(

即不会改变

)

，可以考虑

AVL

树，但一个结构经常修改，就不太适合。

四、完结撒❀

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