文章目录

一、算法原理二、案例分析2.1 构建指标层判断矩阵2.2 求各指标权重2.2.1 算术平均法（和积法）2.2.2 几何平均法（方根法）

2.3 一致性检验2.3.1 求解最大特征根值2.3.2 求解CI、RI、CR值2.3.3 一致性判断

2.4 分别求解方案层权重向量及一致性检验2.4.1 景色2.4.2 吃住2.4.3 价格2.4.4 人文

2.5 计算各方案得分

三、python 代码3.1 和积法计算权重3.2 方根法计算权重3.3 python库 np.linalg.eig

一、算法原理

层次分析法（analytic hierarchy process），简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

传统定性分析方法类似专家打分、专家判断等，仅能将指标简单地划分为几个层级（类似非常重要、比较重要、一般、比较不重要、非常不重要），这样导致部分存在差别但是不大的指标得到了同样的权重，受主观因素影响，无法对最终决策做出更好的帮助。层次分析法将不同指标间一一比对，主观与客观相结合，很好地解决了以上问题。

判断矩阵量化值参照表：

二、案例分析

目的：选择某个城市旅游

方案：南京、桂林、三亚

考虑因素：景色、吃住、价格、人文

2.1 构建指标层判断矩阵

构建判断矩阵，理论上需要专家打分。

2.2 求各指标权重

2.2.1 算术平均法（和积法）

按列求和：如

1

+

4

+

1

/

2

+

3

=

8.5

1+4+1/2+3 = 8.5

1+4+1/2+3=8.5。

将指标层判断矩阵按列归一化（即按列求占比），如：

0.12

=

1

/

8.5

0.12 = 1 / 8.5

0.12=1/8.5

0.47

=

4

/

8.5

0.47 = 4 / 8.5

0.47=4/8.5

0.06

=

1

/

2

/

8.5

0.06 = 1/2 / 8.5

0.06=1/2/8.5

0.35

=

3

/

8.5

0.35 = 3 / 8.5

0.35=3/8.5

将归一化后的矩阵按行求平均，得到权重向量w

2.2.2 几何平均法（方根法）

每行各元素相乘（行乘积），如

1

∗

1

/

4

∗

2

∗

1

/

3

=

0.1667

1*1/4*2*1/3 = 0.1667

1∗1/4∗2∗1/3=0.1667

对乘积列每个元素开n次方（n为矩阵阶数，此处n=4），如

0.1667

4

=

0.6389

\sqrt[4]{0.1667}=0.6389

40.1667

​=0.6389.

然后对开方列求列占比，得到权重向量w，如

0.1171

=

0.6389

/

5.4566

0.1171=0.6389 / 5.4566

0.1171=0.6389/5.4566.

2.3 一致性检验

2.3.1 求解最大特征根值

得到权重向量后，可以计算出原判断矩阵的最大特征根值，公式为：

λ

m

a

x

=

1

n

∑

i

=

1

n

(

A

W

i

)

W

i

\lambda_{max}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{(AW_{i})}{W_{i}}}

λmax​=n1​i=1∑n​Wi​(AWi​)​

其中，n为矩阵阶数，此处n=4。

求解步骤（以和积法求解权重为例）

求

A

W

AW

AW，其中

0.4705

=

1

∗

0.1176

+

1

4

∗

0.5175

+

2

∗

0.0611

+

1

3

∗

0.3038

0.4705=1*0.1176+\dfrac{1}{4}*0.5175+2*0.0611+\dfrac{1}{3}*0.3038

0.4705=1∗0.1176+41​∗0.5175+2∗0.0611+31​∗0.3038

求

A

W

W

\dfrac{AW}{W}

WAW​，如

4.0016

=

0.4705

/

0.1176

4.0016=0.4705/0.1176

4.0016=0.4705/0.1176

求

1

n

s

u

m

(

A

W

W

)

\dfrac{1}{n}sum(\dfrac{AW}{W})

n1​sum(WAW​)，此处

s

u

m

(

A

W

W

)

=

16.0621

sum(\dfrac{AW}{W})=16.0621

sum(WAW​)=16.0621

综上求得

λ

m

a

x

=

1

4

∗

16.0621

=

4.0155

\lambda_{max}=\dfrac{1}{4}*16.0621=4.0155

λmax​=41​∗16.0621=4.0155。

2.3.2 求解CI、RI、CR值

计算CI

C

I

=

λ

−

n

n

−

1

=

4.0155

−

4

4

−

1

=

0.0052

CI=\dfrac{\lambda-n}{n-1}=\dfrac{4.0155-4}{4-1}=0.0052

CI=n−1λ−n​=4−14.0155−4​=0.0052

计算RI

根据查表，得知

R

I

RI

RI为0.89

计算CR

C

R

=

C

I

R

I

=

0.0052

0.89

=

0.0058

CR=\dfrac{CI}{RI}=\dfrac{0.0052}{0.89}=0.0058

CR=RICI​=0.890.0052​=0.0058

2.3.3 一致性判断

CR = 0.0058 < 0.1，即通过一致性检验。

2.4 分别求解方案层权重向量及一致性检验

2.4.1 景色

构建判断矩阵

计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）

2.4.2 吃住

构建判断矩阵

计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）

2.4.3 价格

构建判断矩阵

计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）

2.4.4 人文

构建判断矩阵

计算权重向量以及一致性检验.（步骤如上文，为了简便文章，本次计算采用python代码，以和积法求解权重，下文将详细介绍）

2.5 计算各方案得分

综合得分

=

s

u

m

(

单项得分

∗

对应指标权重

)

综合得分=sum(单项得分*对应指标权重)

综合得分=sum(单项得分∗对应指标权重)

可以看出，南京得分0.5675为最高，最终方案应选择南京。

三、python 代码

3.1 和积法计算权重

<code>import numpy as np

import pandas as pd

''' 层次分析法判断矩阵权重向量计算--和积法 '''

def get_w_anc(factors_matrix):

# RI字典

RI_dict = {

1:0,

2:0,

3:0.52,

4:0.89,

5:1.12,

6:1.26,

7:1.36,

8:1.41,

9:1.46,

10:1.49,

11:1.52,

12:1.54,

13:1.56,

14:1.58,

15:1.59

}

# 矩阵阶数

shape = factors_matrix.shape[0]

# 按列求和

column_sum_vector = np.sum(factors_matrix, axis=0)

# 指标层判断矩阵归一化

normalization_matrix = factors_matrix / column_sum_vector

# 按行求归一化后的判断矩阵平均值，得到权重W

W_vector = np.mean(normalization_matrix, axis=1)

# 原判断矩阵 乘以 权重向量

AW_vector = np.dot(factors_matrix, W_vector)

# 原判断矩阵 ✖️ 权重向量 / 权重

AW_w = AW_vector / W_vector

# 求特征值

lamda = sum(AW_w) / shape

# 求CI值

CI = (lamda - shape) / (shape - 1)

# 求CR值

CR = CI / RI_dict[shape]

print("权重向量为：",list(W_vector))

print("最大特征值：",lamda)

print("CI值为：",CI)

print("RI值为：",RI_dict[shape])

print("CR值为：",CR)

if CR < 0.1:

print('矩阵通过一致性检验')

else:

print('矩阵未通过一致性检验')

print("---------------------------")

return W_vector

if __name__ == "__main__":

# 指标层判断矩阵

factors_matrix = np.array([

[1,1/4,2,1/3],

[4,1,8,2],

[1/2,1/8,1,1/5],

[3,1/2,5,1]

])

# 景色

view_matrix = np.array([

[1,1/4,2],

[4,1,8],

[1/2,1/8,1]

])

# 吃住

board_matrix = np.array([

[1,5,2],

[1/5,1,1/2],

[1/2,2,1]

])

# 价格

price_matrix = np.array([

[1,1/3,2],

[3,1,5],

[1/2,1/5,1]

])

# 人文

humanity_matrix = np.array([

[1,5,7],

[1/5,1,2],

[1/7,1/2,1]

])

w_A = get_w_anc(factors_matrix)

print("景色：")

w_view = get_w_anc(view_matrix)

print("吃住：")

w_board = get_w_anc(board_matrix)

print("价格：")

w_price = get_w_anc(price_matrix)

print("人文：")

w_humanity = get_w_anc(humanity_matrix)

# 将景色、吃住、价格、人文权重向量合并

w_B = np.vstack((w_view, w_board,w_price,w_humanity))

# 求出最终得分

score = np.dot(w_A,w_B)

print("最终得分向量：",score)

运行结果

3.2 方根法计算权重

这里只列出计算权重部分

原指标层判断矩阵

<code># 指标层判断矩阵

factors_matrix = np.array([

[1,1/4,2,1/3],

[4,1,8,2],

[1/2,1/8,1,1/5],

[3,1/2,5,1]

])

求行乘积

# 求行乘积

array1 = factors_matrix.prod(axis=1, keepdims=True)

对乘积列每个元素开n次方（n为矩阵阶数，此处n=4）

n = 4

array2 = np.power(array1, 1/n)

对开方列求列占比，得到权重向量w

array2 / np.sum(array2)

3.3 python库 np.linalg.eig

# 计算特征值和特征向量

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(factors_matrix)

# 需要注意的是，对于一个nxn的矩阵，最多可能有n个特征值和特征向量，因此，需要挑选出最大的特征值进行一致性判断

# 找到最大特征值的索引

max_eigenvalue_index = np.argmax(eigenvalues)

# 提取最大特征值和对应的特征向量

max_eigenvalue = eigenvalues[max_eigenvalue_index]

max_eigenvector = eigenvectors[:, max_eigenvalue_index]

print("最大特征值:", max_eigenvalue)

print("对应的特征向量:", max_eigenvector)

参考：层次分析法（AHP）步骤详解-哔哩哔哩参考：层次分析法原理及计算过程详解）