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所属专栏：数据结构与算法

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1. 堆排序

1.1. 算法思想

堆排序(Heap Sort)是一种基于堆数据结构的排序算法。其核心思想是将待排序的元素构建成一个最大堆或最小堆，然后依次将堆顶元素与堆中最后一个元素交换，并重新调整堆，使得剩余元素重新满足堆的性质。重复这个过程直到所有元素都被取出，就得到了一个有序的序列。

1.2. 算法步骤

建立一个大根堆(升序)。将堆顶元素与堆底末尾元素交换，这时待排序中最大元素成功放到正确的位置，并且将堆中待排序的元素个数<code>size--。然后对堆顶元素进行向下调整，使剩余待排序元素重新形成一个大根堆。重复步骤2，3直至待排序元素个数size = 1，排序完成。

为什么升序要建大堆，降序要建小堆？

因为如果升序一旦建小堆的话，每一个取堆顶的元素之后都可能会破坏原本的堆的结构，都需要重新建堆，而建堆的时间复杂度为O(N)，这样N个元素的排序，时间复杂度就会劣化为O(N2 )。

1.3. 动图演示

1.4. 代码实现

<code>void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)

{

int child = 2 * parent + 1;

while (child < n)

{

if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1])

{

child++;

}

if (arr[child] > arr[parent])

{

swap(&arr[child], &arr[parent]);

parent = child;

child = 2 * parent + 1;

}

else

{

break;

}

}

}

void HeapSort(int* arr, int n)

{

//向下调整建堆

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)

{

AdjustDown(arr, n, i);

}

int end = n - 1;

while (end > 0)

{

swap(&arr[0], &arr[end]);

AdjustDown(arr, end, 0);

end--;

}

}

1.5. 复杂度分析

时间复杂度：向下调整建堆的时间复杂度为O(N)，向下调整的时间复杂度为O(logN)，一共N次。所以总时间为O(N+NlogN)，复杂度为O(NlogN)。空间复杂度：没有开辟额外的空间，所以空间复杂度为O(1)。

2. 计数排序

2.1. 算法思想

**计数排序(Counting Sort)**是一种非比较性的排序算法，适用于一定范围内的整数排序。其核心思想是统计每个元素出现的次数，然后根据这个统计信息，将元素放置到正确的位置上。

2.2. 算法步骤

找出待排序数组中的最大值max和最小值min。创建一个长度为max - min + 1的计数数组count，用于存储每个元素出现的次数。遍历待排序数组，统计每个元素出现的次数，将其存储在计数数组中相应的位置上。根据计数数组中的统计信息，将待排序数组重新排列。将排好序的元素从计数数组中放回待排序数组中。

2.3. 动图演示

2.4. 代码实现

<code>void CountSort(int* arr, int n)

{

//找出最大与最小元素

int max = arr[0];

int min = arr[0];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (arr[i] > max)

{

max = arr[i];

}

if (arr[i] < min)

{

min = arr[i];

}

}

int range = max - min + 1;

int* countArray = (int*)malloc(sizeof(int) * range);

if (countArray == NULL)

{

perror("malloc fail：");

return;

}

//初始化

memset(countArray, 0, sizeof(int)*range);

//统计各元素出现次数

for (int i = 0; i < n; i++)

{

countArray[arr[i] - min]++;

}

int j = 0;

for (int i = 0; i < range; i++)

{

while (countArray[i]--)

{

arr[j++] = i + min;

}

}

}

2.5. 复杂度分析

时间复杂度：遍历了原数组与range数组，所以时间复杂度为O(N+range)。空间复杂度：开辟了大小为range的数组，所以空间复杂度为O(range)。

3. 桶排序

3.1. 算法思想

桶排序(Bucket Sort) 是一种适用于一定范围内的元素排序的算法。其核心思想是将待排序的元素分配到有限数量的桶中，然后分别对每个桶中的元素进行排序，最后按照顺序将各个桶中的元素依次取出，得到有序序列。

3.2. 算法步骤

确定桶的每个桶的元素个数和桶的数量，将待排序数组中的元素分配到对应的桶中。

每个桶的元素个数：bucketsize=(max-min)/n+1，max，min，n分别为数组最大元素，最小元素，以及元素个数。每个桶的范围就是：[min,bucketsize)，[min+bucketsize,min+2*bucketsize)…桶的数量：bucketnum=(max-min)/bucketsize+1，bucketsize为每个桶的元素个数。

对每个桶中的元素进行排序，可以选择其他排序算法。将各个桶中的元素按照顺序取出，组成最终的有序序列。

为什么<code>bucketnum与bucketsize 的计算最后要加1？

首先是因为除法运算的结果是可以等于0的，而桶的数量与桶最大容纳个数是不可能为0，所以需要加1。其次我们默认每个桶的范围是左闭右开区间，如果不加1最大的元素可能无法进入桶内。

3.3. 动图演示

3.4. 代码实现

<code>void BucketSort(int* arr, int n)

{

//找出最大与最小元素

int max = arr[0];

int min = arr[0];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (arr[i] > max)

{

max = arr[i];

}

if (arr[i] < min)

{

min = arr[i];

}

}

//每个桶的元素最大个数

int bucketsize = (max - min) / n + 1;

//桶的个数

int bucketnum = (max - min) / bucketsize + 1;

int bucket[bucketnum][bucketsize];

int bucketcount[bucketnum];//每个桶当前元素个数计数器

memset(bucket, 0, sizeof(bucket));

memset(bucketcount, 0, sizeof(bucketcount));

//将元素放入桶中

for (int i = 0; i < n; i++)

{

int index = (arr[i] - min) / bucketsize;//第几个桶

bucket[index][bucketcount[index]] = arr[i];

bucketcount[index]++;//第几个桶的个数++

}

for (int i = 0; i < bucketnum; i++)

{

QuickSort(bucket[i], 0, bucketcount[i] - 1);

}

for (int i = 0; i < bucketnum; i++)

{

int t = 0;

for (int j = 0; j < bucketcount[i]; j++)

{

arr[t++] = bucket[i][j];

}

}

}

3.5. 复杂度分析

时间复杂度：假设有N个元素，K个桶。假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为N/K 。假设排序单个桶使用(N/K)log(N/K)时间，则排序所有桶使用Nlog(N/K)时间。 当桶数量K比较大时，时间复杂度则趋向于O(N) 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，时间复杂度为O(N+K)。空间复杂度：需要借助N个元素以及K个桶的辅助空间，所以空间复杂度为O(N+K)。

4. 基数排序

4.1. 算法思想

基数排序(Radix Sort)是一种非比较性的排序算法，适用于对整数或字符串等元素进行排序。其核心思想是将待排序的元素按照位数进行分组，然后依次对每个位数进行稳定的排序，最终得到有序序列。

4.2. 算法步骤

确定待排序元素的最大位数，通常通过计算最大元素的位数或者最高位数来确定。从最低位开始，依次对元素按照当前位上的数值进行分组，并且统计每个数组出现次数记录在counter数组中。(十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的统计数组)利用前缀和counter[i] = counter[i - 1] + counter[i]求出每个对应数值的最后一个元素的下标索引。倒序遍历，通过每个元素arr[i]的当前位上的值求出下标索引j=counter[i]-1，并将该元素存入新的数组ret[j]=arr[i]中，最后以ret数组覆盖原数组达到排序该位数的目的。重复步骤2,3,4直至达到最大元素的位数，排序完毕。

按个位排序

按十位排序

为什么一定要从从最低位开始排序？

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果a<b ，而第二轮排序结果 a>b，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

4.3. 动图演示

4.4. 代码实现

<code>//获取当前位数的值

int digit(int num, int exp)

{

return (num / exp) % 10;

}

//对当前位数进行排序

void CountSortDigit(int arr[], int n, int exp) {

// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的统计数组

int* counter = (int*)malloc((sizeof(int) * 10));

if (counter == NULL)

{

perror("malloc fail:");

return;

}

//初始化

memset(counter, 0, sizeof(int)*n);

// 统计 0~9 各数字的出现次数

for (int i = 0; i < n; i++)

{

int d = digit(arr[i], exp);

counter[d]++;

}

// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”

for (int i = 1; i < 10; i++)

{

counter[i] += counter[i - 1];

}

// 倒序遍历，根据统计数组内统计结果，将各元素填入 ret

int* ret = (int)malloc(sizeof(int) * n);

if (ret == NULL)

{

perror("malloc fail:");

return;

}

memset(ret, 0, sizeof(int) * n);

for (int i = n - 1; i >= 0; i--)

{

int d = digit(arr[i], exp);

int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j

ret[j] = arr[i]; // 将当前元素填入索引 j

counter[d]--;

}

// 覆盖原数组

for (int i = 0; i < n; i++)

{

arr[i] = ret[i];

}

}

void RadixSort(int*arr, int n)

{

// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数

int max = arr[0];

for (int i = 0; i < n ; i++)

{

if (arr[i] > max)

{

max = arr[i];

}

}

// 按照从低位到高位的顺序遍历

for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)

{

CountSortDigit(arr, n, exp);

}

}

4.5. 复杂度分析

时间复杂度：设数据量为N、数据为D进制、最大位数为K ，则对某一位执行计数排序使用O(N+D) 时间，排序所有K 位使用O((N + D)K) 时间，时间复杂度为O(N*K)。通常情况下，D和K都相对较小，时间复杂度趋向O(N) 。空间复杂度：基数排序需要借助长度为N和D的统计数组，所以基数排序空间复杂度为O(N+D)。

5. 排序算法的稳定性

5.1. 稳定性的定义

假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i] = r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

5.2. 各种排序算法的稳定性

排序算法	平均时间复杂度	最好时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	稳定性
冒泡算法	O(N2 )	O(N )	O(N2 )	O(1 )	稳定
选择算法	O(N2 )	O(N2 )	O(N2 )	O(1 )	不稳定
插入排序	O(N2 )	O(N )	O(N2 )	O(1 )	稳定
希尔排序	O(N1.3 )	O(N )	O(N2 )	O(1 )	不稳定
快速排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(N2 )	O(logN )	不稳定
归并排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(NlogN)	O(N )	稳定
堆排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(NlogN)	O(1)	不稳定
计数排序	O(N+K)	O(N+K)	O(N+K)	O(K)	稳定
桶排序	O(N+K)	O(N+K)	O(N2 )	O(N+K)	稳定
N)	O(N )	稳定
堆排序	O(NlogN)	O(NlogN)	O(NlogN)	O(1)	不稳定
计数排序	O(N+K)	O(N+K)	O(N+K)	O(K)	稳定
桶排序	O(N+K)	O(N+K)	O(N2 )	O(N+K)	稳定
基数排序	O(N*K)	O(N*K)	O(N*K)	O(N+K)	稳定