MATLAB知识点： SSE: 误差平方和、 MSE: 均方误差、RMSE: 均方根误差、MAE: 平均绝对误差、MAPE: 平均绝对百分比误差、SMAPE: 对称平均绝对百分比误差、R方: 决定系数

数学建模学习交流 2024-08-15 16:05:02 阅读 96

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节选自第3章 3.4.2 算术运算

学完了矩阵的算术运算后，我们来做一些练习。

计算用来评价预测效果好坏的一些指标

假设真实值是向量

$y=\left[ y_1,y_2,\cdots ,y_n \right]$

，拟合值或预测值是向量

$\hat{y}=\left[ \hat{y}_1,\hat{y}_2,\cdots ,\hat{y}_n \right]$

<code> % 例如我们举一个n为10的例子

y = [100 102 108 117 135 178 198 241 290 349];

y_hat = [93 108 118 117 141 170 196 249 296 359];

n = length(y); % 10

SSE: 误差(或残差)平方和（Sum of Squares due to Error）

$SSE\,\,=\,\,\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{y}_i \right) ^2}$

范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0。误差越大，该值越大。

它的量纲是原来数据量纲的平方。

<code>SSE = sum( (y-y_hat).^2 ) % 489

MSE: 均方误差（Mean Square Error）

$MSE\,\,=\,\,\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{y}_i \right) ^2}$

就是SSE除了一个n

范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0。误差越大，该值越大。

它的量纲是原来数据量纲的平方。

<code>MSE = 1/n*(sum( (y-y_hat).^2 )) % 48.9

RMSE: 均方根误差（Root Mean Square Error）

$RMSE\,\,=\,\,\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\hat{y}_i \right) ^2}}$

就是MSE加了个根号

范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0。误差越大，该值越大。

它的量纲和原来数据的量纲相同。

<code>RMSE = sqrt( 1/n*(sum((y-y_hat).^2)) ) % 6.9929

MAE: 平均绝对误差（Mean Absolute Error）

$MAE\,\,=\,\,\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left| y_i-\hat{y}_i \right|}$

范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0。误差越大，该值越大。

它的量纲和原来数据的量纲相同。

<code>MAE = 1/n*( sum( abs(y-y_hat) ) ) % 6.3

MAPE: 平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error）

$MAPE\,\,=\,\,\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left| \frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i} \right|}$

范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0。

可以看到，MAPE跟MAE很像，就是多了个分母。

注意：当真实值有数据等于0时，存在分母为0的问题，该公式不可用！

<code>fz = y-y_hat; % 分子

MAPE = 1/n*(sum(abs(fz ./ y))) % 0.0403

SMAPE: 对称平均绝对百分比误差（Symmetric Mean Absolute Percentage Error）

$SMAPE\,\,=\,\,\frac{100\%}{n}\sum_{i=1}^n{\frac{\left| y_i-\hat{y}_i \right|}{\left( \left| y_i \right|+\left| \hat{y}_i \right| \right) /2}}$

它的范围是0％到200％，当预测值与真实值完全吻合时等于0。

注：有些地方定义的SMAPE的分母没有加绝对值，这时候SMAPE可能为负数。

<code>fz = abs(y-y_hat); % 分子

fm = (abs(y)+abs(y_hat))/2; % 分母

SMAPE = 1/n*(sum(fz./ fm )) % 0.0399

R方: 决定系数（Coefficient of determination）

<code>fz = sum((y - y_hat).^2); % 分子

fm = sum((y - mean(y)).^2); % 分母

R2 = 1 - fz/fm % 0.9928

R方: 决定系数的拓展：

$R^2$

:决定系数、可决系数、R方、拟合优度（Coefficient of determination）

注意：如果使用的是线性回归模型，那么下面两种计算R方的公式都可以使用，且此时R方的范围是[0,1]

$R^2=1-\frac{\sum{\left( y-\hat{y} \right) ^2}}{\sum{\left( y-\bar{y} \right) ^2}} \\ R^2=\frac{\sum{\left( \hat{y}-\bar{y} \right) ^2}}{\sum{\left( y-\bar{y} \right) ^2}} \\$

式中

$\bar{y}$

是y的均值

如果使用的是非线性回归模型，那么R方使用的是第一种定义方法！

且此时R方的范围是(-∞,1].

（线性回归中，两种方法算出来的R方一定相等。非线性回归中只能使用第一种方法计算，第二种算出来的结果是错的！）

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