[超详细]3种方法判断一个数是否为质数(Python)

一个学数学的程序媛 2024-07-24 10:35:04 阅读 76

(发现好多博客对第三种进阶方法说的不明白,至少我是没完全看明白。后面结合自己的理解应该算是弄懂了,供大家参考,欢迎纠正。)

方法一:最暴力,最简单,也最耗时O(n)

思想:由素数的定义:一个数t,除了1和它本身,若没有其他因数,那么就称其为素数。因此循环i从2开始到t-1,依次判断t是否将i整除,若是则不为素数。

代码:

<code># 判断是否为质数

def is_zhishu(t):

if t <= 1:

# 1和0都不是质数

return False

for i in range(2, t):

if t % i == 0:

# 整除就是余数为0 只要有一个被整除 就找到因数 就不是质数

return False

return True

t = int(input())

print(is_zhishu(t))

方法二:一个数t,其必然可以拆解为

$t = \sqrt{t}\times\sqrt{t}$

,则其整数因数必然一个不大于

$\sqrt{t}$

,一个不小于

$\sqrt{t}$

.因此可以只搜索小于等于

$\sqrt{t}$

的因数即可,将上述代码小改一下即可。此时时间复杂度就只需要O(

$\sqrt{t}$

).

代码:

<code># 判断是否为质数

import math

def is_zhishu(t):

if t <= 1:

# 1和0都不是质数

return False

sqrt_t = math.ceil(t**0.5) # 这里用ceil的原因是要取整数才能输入range

for i in range(2, sqrt_t):

if t % i == 0:

# 整除就是余数为0 只要有一个被整除 就找到因数 就不是质数

return False

return True

t = int(input())

print(is_zhishu(t))

方法三:时复<=O(

$\sqrt{t}$

).

方法三基于如下一个规律:

首先。对于任一个自然数t,只要t>=5, 则可以写成6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,...(x>=1)中的任一个。其次,针对上面的这种表达,依次看其是否是质数。

6x-1: 不能确定(因为像35=6*6-1不是质数,但41=6*7-1是质数,因此暂时不能确定)6x: 因数可以是2,3,6,必定不是质数6x+1: 不能确定(因为像25=4*6+1不是质数,但37=6*6+1是质数,因此暂时不能确定)6x+2: =2(3x+1)因数可以是2,必定不是质数6x+3: =3(2x+1)因数可以是3,必定不是质数6x+4: =2(3x+2)因数可以是2,必定不是质数

因此,对于t>=5,只有t可以写成t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)时才有可能是质数。那么判断t是否可以写成这两种形式该如何体现在代码上呢?

首先我们知道代码中t%6 == 1,表示t = 6x+1(x>=0)的t都能识别出来,因此判断t>=5时可以被写成这种形成t=6x+1(x>=1)的就直接用t%6 == 1来判断即可,因为可以被识别出来即可。而t=6x-1(x>=1),这个-1的要如何识别出来呢?这个直接体现是体现不了在余数上的,因此需要转换一下,t=6x-1(x>=1)等价于t=6(x+1)-1(x>=0)=6x+5(x>=0). 类似上一个所说,t%6 == 5,表示t = 6x+5(x>=0)的t都能识别出来.因此这时只需要用t%6 == 5来识别t=6x-1(x>=1)这种情况即可。

所以代码中将可能是质数的先提取出来。即当t>=5时将不是质数的先判断为False。

前半部分:

<code>if t <= 1 or t == 4:

return False

elif t == 2 or t == 3:

return True

# 至此 先把t<5的情况全部讨论完,再看t>=5有规律的情况

elif t%6 != 1 and t%6 != 5:

# 这里采用!= 就是将可能为质数的提取出来,!= 的就一定不是质数

return False

那么接下来就是如何判断t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)这两种形式到底是不是质数的问题了。首先我们采用方法二的大方向,这两种数如果不是质数,那么其必定会有一个因数不大于根号t,这样就找到了遍历时的右边界i = 根号t向上取整。那么i是从几开始,间隔又是几递增呢?直接搜会告诉你i从5开始,间隔是6,这是为什么?很多博客中说因为t=6x-1或者t=6x+1(x>=1),可是这个是t,又不是t的因数。那么为什么t的因数又只有6x-1或6x+1这两种形式呢?请看我细细道来。

首先,t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)这两种形式的数的因数也只可能为6x-1或者6x+1(x>=1),因为其他数的形式6x,6x+2,6x+3,6x+4(x>=0)(这里如果取6x则x>=1)要么一定有最小因数2要么一定有最小因数3,因此都不可能是t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)的因数(这个前面分析过了,因为其不管怎么拆都拆不出2和3).因此对于t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)这两种形式的数的因数也只可能为6x-1或者6x+1(x>=1)的形式[这里相当于从5开始了,是因为1不算因数,2和3刚已经说了不可能为t的因数了,4(因为可以拆成2)因此不可能是t的因数了]。所以现在就知道i从5开始!且因为6x-1或者6x+1(x>=1)都有可能成为t的因数,因此每遍历一次i就要有两次判断!(分别针对6x-1和6x+1的,i从5开始即每次取i时就是在判断6x-1(x>=1),取i+2时就是在判断6x+1(x>=1)),即t%i ==0 or t%(i+2) ==0,一旦有能被整除的就是False。现在i递增是6就很容易理解了,第一轮x=1时6x-1=5;判断完后第二轮x=2时6x-1 = 6(x-1)-1+6,因此每次递增6就可以将6x-1(x>=1)刚好全部判断完。没有然后了,已经结束,看不懂慢慢读多读几遍首先那一段就OK,不要着急。

方法三的完整代码:

import math

def is_zhishu(t):

# 先把小于5的所有情况讨论完

if t <= 1 or t == 4:

return False

elif t in (2,3):

return True

# 至此 t都是>=5的情况,这时就可以把t不是=6x-1,6x+1(x>=1)这两种情况过滤掉

elif t%6 != 1 and t%6 != 5:

return False

# 此时基于t>=5基础上把有可能是质数的t=6x-1or6x+1(x>=1)的两种情况提取出来

# 按照前面所说遍历i从5开始,递增6,至sqrt_t去寻找其因数,每轮要识别i(对应6x-1这种因数)和(i+2)(对应6x+1这种因数)

sqrt_t = math.ceil(t**0.5)

for i in range(5, sqrt_t, 6):

if t % i == 0 or t %(i+2) == 0:

return False

return True

t = int(input())

print(is_zhishu(t))



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