题目

        一只袋鼠要从河这边跳到河对岸，河很宽，但是河中间打了很多桩子。每隔一米就有一个桩子，每个桩子上都有一个弹簧，袋鼠跳到弹簧上就可以跳得更远。每个弹簧力量不同，用一个数字代表它的力量，如果弹簧力量为5，就代表袋鼠下一跳最多能够跳5米；如果为0，就会陷进去无法继续跳跃。河流一共N米宽，袋鼠初始位置就在第一个弹簧上面，要跳到最后一个弹簧之后就算过河了。给定每个弹簧的力量，求袋鼠最少需要多少跳能够到达对岸。如果无法到达，则输出-1。

        输入描述：弹簧力量的数组。

        输出描述：输出最少的跳数，无法到达输出-1。

        示例 1：

<code>输入：[2, 0, 1, 1, 1]

输出：4

        示例 2：

输入：[2, 1, 0, 1, 1]

输出：-1

        示例 3：

输入：[3, 3, 0, 0, 1, 1, 1]

输出：5

贪心算法

        在编程竞赛和面试中，袋鼠过河问题是一道富有策略性的试题。它要求我们对复杂问题进行逻辑分析，并利用相关算法来寻找最优解。

        为了找到袋鼠过河所需的最少跳跃次数，我们可以采用一种贪心策略。核心思路是在每一步选择能覆盖尽可能远的距离但又不会超过当前可到达范围的最大步长。具体来说，在每一步中，我们尝试确定下一步能够到达的最远位置，并更新当前可以到达的最远位置。如果在某一步我们发现无法进一步前进（即当前能够到达的最远位置小于下一个弹簧的位置），则返回-1表示无法过河。使用贪心算法求解本题的主要步骤如下。

        1、初始化两个变量farthest和current用于记录当前能够到达的最远位置和当前已经跳到的位置。

        2、初始化一个计数器steps用来记录跳跃次数。

        3、遍历弹簧的力量数组，对于每一个位置，计算从当前位置出发能够到达的最远位置。

        4、如果到达当前位置current，则更新当前位置current为最远位置farthest。如果current大于等于河流宽度，则返回steps。

        5、如果遍历完数组后仍然没有达到河流宽度，则返回-1。

        根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

<code>def kangaroo_cross_river_greedy(springs):

river_width = len(springs)

# 当前能到达的最远位置

farthest = 0

# 当前已经跳到的位置

current = 0

# 跳跃次数

steps = 0

for i in range(river_width):

# 如果当前位置弹簧力量为0，则无法跳跃，直接返回-1

if springs[i] == 0 and i >= farthest:

return -1

# 更新最远可以到达的位置

farthest = max(farthest, i + springs[i])

# 如果当前位置就是当前可以到达的最远位置

if i == current:

steps += 1

current = farthest

# 如果当前已经跳到了河对岸或超过了河对岸

if current >= river_width:

return steps

return -1

print(kangaroo_cross_river_greedy([2, 0, 1, 1, 1]))

print(kangaroo_cross_river_greedy([2, 1, 0, 1, 1]))

print(kangaroo_cross_river_greedy([3, 3, 0, 0, 1, 1, 1]))

动态规划法

        为了使用动态规划法解决本题，我们需要定义状态和状态转移方程。我们用dp[i]表示到达第i个弹簧所需的最少跳跃次数，问题的目标是找到dp[N]的值，其中N是最后一个有效弹簧的位置。使用动态规划法求解本题的主要步骤如下。

        1、初始化dp数组，设dp[0] = 1，因为初始位置已经确定，再跳一次就可以到达对岸。

        2、遍历数组，对于每个位置 i，考虑所有能到达 i 的位置 j。其中，j 在 i 的左侧，且j + springs[j] >= i。

        3、更新dp[i]为 min(dp[i], dp[j] + 1)。

        4、如果在遍历过程中没有更新dp[N]，则无法到达对岸，返回-1。否则，返回dp[N]。

def kangaroo_cross_river_by_dp(springs):

river_width = len(springs)

# 初始化dp数组为无穷大

dp = [float('inf')] * river_width

# 袋鼠初始位置需要1次跳跃

dp[0] = 1

for i in range(1, river_width):

# 如果弹簧力量为0，则无法通过此位置

if springs[i] == 0:

continue

for j in range(i):

# 只有当j处的弹簧力量加上j的位置能够达到i时，才考虑

if j + springs[j] >= i:

# 更新到达i的最小跳跃次数

dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

# 如果dp[n-1]仍然为无穷大，说明无法到达

return dp[river_width-1] if dp[river_width-1] != float('inf') else -1

print(kangaroo_cross_river_by_dp([2, 0, 1, 1, 1]))

print(kangaroo_cross_river_by_dp([2, 1, 0, 1, 1]))

print(kangaroo_cross_river_by_dp([3, 3, 0, 0, 1, 1, 1]))

总结

        使用贪心算法求解本题的时间复杂度为O(n)，因为它只需要遍历一次数组，其中n是弹簧的数量。其空间复杂度为O(1)，只需要常数级别的额外空间。注意：贪心算法并不总是能得到最优解，只有在特定条件下才适用。

        使用动态规划法求解本题的时间复杂度为O(n^2)，因为它需要遍历数组，并对每个位置执行内层循环。其空间复杂度为O(n)，因为它需要一个额外的一维数组dp来存储中间结果。动态规划法适用于更广泛的问题类型，可以通过调整状态转移方程来适应不同的问题。

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