题目描述

现需要在某城市进行5G网络建设，已经选取N个地点设置5G基站，编号固定为1到N，接下来需要各个基站之间使用光纤进行连接以确保基站能互联互通，不同基站之间假设光纤的成本各不相同，且有些节点之间已经存在光纤相连。

请你设计算法，计算出能联通这些基站的最小成本是多少。

注意：基站的联通具有传递性，比如基站A与基站B架设了光纤，基站B与基站C也架设了光纤，则基站A与基站C视为可以互相联通。

输入描述

第一行输入表示基站的个数N，其中：

0 < N ≤ 20

第二行输入表示具备光纤直连条件的基站对的数目M，其中：

0 < M < N * (N - 1) / 2

从第三行开始连续输入M行数据，格式为

X Y Z P

其中：

X，Y 表示基站的编号

0 < X ≤ N0 < Y ≤ NX ≠ Y

Z 表示在 X、Y之间架设光纤的成本

0 < Z < 100

P 表示是否已存在光纤连接，0 表示未连接，1表示已连接

输出描述

如果给定条件，可以建设成功互联互通的5G网络，则输出最小的建设成本

如果给定条件，无法建设成功互联互通的5G网络，则输出 -1

用例

题目解析

（下图中，虚线代表节点之间可以铺设光纤，但是还没有铺设，实线表示已经铺好了）

用例1图示

用例2图示

用例3图示

本题是经典的最小生成树问题

生成树概念

而在了解最小生成树概念前，我们需要先了解生成树的概念：

在无向连通图中，生成树是指包含了全部顶点的极小连通子图。

生成树包含原图全部的n个顶点和n-1条边。（注意，边的数量一定是n-1）

比如下面无向连通图例子：

根据生成树概念，我们可以基于上面无向连通图，产生多个生成树，下面举几个生成树例子：

如上图我们用n-1条橙色边连接了n个顶点。这样就从无向连通图中产生了生成树。

为什么生成树只能由n-1条边呢？

因为少一条边，则生成树就无法包含所有顶点。多一条边，则生成树就会形成环。

而生成树最重要的两个特性就是：

1、包含所有顶点

2、无环

最小生成树概念

了解了生成树概念后，我们就可以进一步学习最小生成树了。

我们回头看看无向连通图，可以发现每条边都有权重值，比如v1-v2权重值是6，v3-v6权重值是4。

最小生成树指的是，生成树中n-1条边的权重值之和最小。

那么如何才能准确的找出一个无向连通图的最小生成树呢？

有两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是基于顶点找最小生成树。Kruskal是基于边找最小生成树。

Prim算法

首先，我们介绍Prim算法：

我们可以选择无向连通图中的任意一个顶点作为起始点，比如我们选v1顶点为起始点

从v1顶点出发，有三条边，我们选择权重最小的1，即将v1-v3相连

此时我们需要将v1-v3看成一个整体，然后继续找这个整体出发的所有边里面的最小的， 

 可以发现为最小权重为4，因此，将v3-v6相连

接着将v1-v3-v6看出一个整体，找这个整体出发的所有边里面的最小的，可以找到最小权重2，因此将v6-v4相连

但是接下来，我们会发现，从v1-v3-v6-v4整体出发的所有边里面同时有三个最小权重5，那么该如何选择呢？

其实不难看出，如果选择v4-v3，或者v4-v1相连，则对应的生成树就形成了环结构，因此就不符合生成树特性了，因此我们只能选择v3-v2。

（注意：如果有多个相同的最小权重边可选，并且都不会产生环结构，则可以选择其中任意一条边，最终得到结果都是最小生成树） 

 其实，不仅仅在上面遇到相同权重边时，需要判断是否形成环，在前选择每一条边时都需要判断是否形成环，一旦选择的边能够形成环，那么我们就应该舍弃它，选择第二小的权重边，并继续判断。

按照上面逻辑，我们可以继续找到v1-v2-v3-v4-v6整体出发所有边中的最小权重边3，即将v2-v5相连，并且连接后不会形成环

此时选择的边数已经达到了n-1条，因此可以结束逻辑，而现在得到的就是最小生成树。我们可以将这个最小生成数的所有边的权重值之和计算出来为15。 

上面这种基于顶点的找最小生成树的方式就是Prim算法。

关于Prim算法具体实现细节请看代码实现，已添加详细注释。

Kruskal算法

接下来介绍Kruskal算法：

Kruskal算法要求我们将所有的边按照权重值升序排序，因此可得：

首先，我们将权重最小的边v1-v3加入，得到下图

接着将下个最小权重2的边v4-v6加入 

接着继续加最小权重边

此时边数已经达到n-1，而刚好这个过程中也没有环的形成，因此得到的就是最小生成树。

但是这里有巧合因素在里面，因为最后一步中，最小权重5的边有多条，如果并不是v2-v3排在前面呢，比如是v1-v4呢？

可以发现，形成了环，因此我们应该舍弃这条边，继续找剩下的最小权重边。最后总能找到v2-v3。

那么判断环的存在就是实现上面Prim算法和Kruskal算法的关键点！

其实，生成树就是一个连通分量，初始时，生成树这个连通分量只有一个顶点（Prim），或者两个顶点（Kruskal），后面会不断合入新的顶点进来，来扩大连通分量范围。

而连通分量可以使用并查集表示，

并查集本质就是一个长度为n的数组（n为无向图的顶点数），数组索引值代表图中某个顶点child，数组索引指向的元素值，代表child顶点的祖先顶点father。

初始时，每个child的father都是自己。即初始时，默认有n个连通分量。

比如 arr = [1,1,1,5,5,5] 数组就可以模拟出一个无向图

0顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）  1顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 2顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 

我们可以用father指代一个连通分量。比如上面arr = [1,1,1,5,5,5]就有两个连通分量，分别是father为1的连通分量和father为5的连通分量。

最小生成树中的顶点必然都处于同一个连通分量中，因此每加入一个新的顶点child_new，我们我们就可以看它的father是否已经是连通分量对应的father，如果是，则说明顶点child_new其实已经存在于最小生成树中了，因此就产生了环，比如下面例子：

​

上面右图绿色部分（对应连通图中橙色实线），则arr变为

​

上面右图黄色部分（对应连通图中黑色实线），即v4顶点的father改成v1，但是实际上v4的father已经是v1，那么此时如果再强行加入的话，那么就形成了环。

Prim算法和Kruskal算法的适用场景

Prim算法是基于节点操作的，因此Prim算法适用于节点少，边多的情况

Kruskal算法是基于边操作的，因此Kruskal算法适用于节点多，边少的情况。

本题解析

本题属于最小生成树的变种题，区别于板子题，本题中主要是存在一些已经关联好的节点。

比如下面连通图中，2-3是已经连通好的。

其实处理起来也很简单，对于已经关联了的节点，我们可以认为他们之间的边权为0。

即上图中，2-3虽然边权为5，但是由于已经关联好了，因此可以认为实际边权为0。

这样的话，本题就变成最小生成树的板子题了。

JS算法源码

Prim算法

<code>const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });

var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();

const readline = async () => (await iter.next()).value;

void (async function () {

const n = parseInt(await readline()); // 基站数量（节点数）

const m = parseInt(await readline()); // 基站对数量（边数）

// 邻接矩阵, 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大

const graph = new Array(n + 1)

.fill(0)

.map(() => new Array(n + 1).fill(Infinity));

for (let i = 0; i < m; i++) {

const [x, y, z, p] = (await readline()).split(" ").map(Number);

if (p == 0) {

// x-y边权为z

graph[x][y] = z;

graph[y][x] = z;

} else {

// 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0

graph[x][y] = 0;

graph[y][x] = 0;

}

}

function prim() {

// 记录最小生成树的边权和

let minWeight = 0;

// inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中

const inTree = new Array(n + 1).fill(false);

// 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1

inTree[1] = true;

// 记录最小生成树中点数量

let inTree_count = 1;

// dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离

// 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离

const dis = new Array(n + 1).fill(0).map((_, i) => graph[i][1]);

// 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环

while (inTree_count < n) {

// 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

let minDis = Infinity; // minDis 记录这个最近距离

let nodeIdx = 0; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

for (let i = 1; i <= n; i++) {

// 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {

minDis = dis[i];

nodeIdx = i;

}

}

// 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联

if (nodeIdx == 0) {

// 则说明，当前所有点无法形成最小生成树

return -1;

}

inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx

inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1

minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

// dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）

// 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近

for (let i = 1; i <= n; i++) {

if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {

// 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，

// 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离

// 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离

dis[i] = graph[nodeIdx][i];

}

}

}

return minWeight;

}

console.log(prim());

})();

Kruskal算法

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });

var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();

const readline = async () => (await iter.next()).value;

void (async function () {

const n = parseInt(await readline()); // 基站数量（节点数）

const m = parseInt(await readline()); // 基站对数量（边数）

const edges = [];

for (let i = 0; i < m; i++) {

// 边起点, 边终点，边权重，起点和终点是否已关联

const [x, y, z, p] = (await readline()).split(" ").map(Number);

if (p == 0) {

// 起点和终点未关联

edges.push([x, y, z]);

} else {

// 起点和终点已关联，则关联代价实际为0

edges.push([x, y, 0]);

}

}

function kruskal() {

let minWeight = 0;

// 按照边权升序

edges.sort((a, b) => a[2] - b[2]);

const ufs = new UnionFindSet(n + 1);

// 最先遍历出来是边权最小的边

for (const [x, y, z] of edges) {

// 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环

// 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）

if (ufs.find(x) != ufs.find(y)) {

minWeight += z;

ufs.union(x, y);

// 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，

// 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量

// 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量

if (ufs.count == 2) {

return minWeight;

}

}

}

return -1;

}

console.log(kruskal());

})();

// 并查集实现

class UnionFindSet {

constructor(n) {

this.fa = new Array(n).fill(true).map((_, idx) => idx);

this.count = n; // 初始时各站点互不相连，互相独立，因此需要给n个站点发送广播

}

// 查x站点对应的顶级祖先站点

find(x) {

while (x !== this.fa[x]) {

x = this.fa[x];

}

return x;

}

// 合并两个站点，其实就是合并两个站点对应的顶级祖先节点

union(x, y) {

let x_fa = this.find(x);

let y_fa = this.find(y);

if (x_fa !== y_fa) {

// 如果两个站点祖先相同，则在一条链上，不需要合并

this.fa[y_fa] = x_fa; // 合并站点，即让某条链的祖先指向另一条链的祖先

this.count--; // 一旦两个站点合并，则发送广播次数减1

}

}

}

Java算法源码

Prim算法

import java.util.Scanner;

public class Main {

public static void main(String[] args) {

Scanner sc = new Scanner(System.in);

int n = sc.nextInt(); // 基站数量（节点数）

int m = sc.nextInt(); // 基站对数量（边数）

// 邻接矩阵

int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];

for (int i = 1; i <= n; i++) {

for (int j = 1; j <= n; j++) {

// 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大

graph[i][j] = Integer.MAX_VALUE;

}

}

for (int i = 0; i < m; i++) {

int x = sc.nextInt();

int y = sc.nextInt();

int z = sc.nextInt();

int p = sc.nextInt();

if (p == 0) {

// x-y边权为z

graph[x][y] = z;

graph[y][x] = z;

} else {

// 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0

graph[x][y] = 0;

graph[y][x] = 0;

}

}

System.out.println(prim(graph, n));

}

public static int prim(int[][] graph, int n) {

// 记录最小生成树的边权和

int minWeight = 0;

// inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中

boolean[] inTree = new boolean[n + 1];

// 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1

inTree[1] = true;

// 记录最小生成树中点数量

int inTree_count = 1;

// dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离

int[] dis = new int[n + 1];

for (int i = 1; i <= n; i++) {

// 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离

dis[i] = graph[1][i];

}

// 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环

while (inTree_count < n) {

// 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

// minDis 记录这个最近距离

int minDis = Integer.MAX_VALUE;

// idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

int nodeIdx = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) {

// 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {

minDis = dis[i];

nodeIdx = i;

}

}

// 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联

if (nodeIdx == 0) {

// 则说明，当前所有点无法形成最小生成树

return -1;

}

inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx

inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1

minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

// dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）

// 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近

for (int i = 1; i <= n; i++) {

if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {

// 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，

// 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离

// 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离

dis[i] = graph[nodeIdx][i];

}

}

}

return minWeight;

}

}

Kruskal算法

import java.util.Arrays;

import java.util.Scanner;

public class Main {

// 边

static class Edge {

int from; // 边起点

int to; // 边终点

int weight; // 边权重

public Edge(int from, int to, int weight) {

this.from = from;

this.to = to;

this.weight = weight;

}

}

public static void main(String[] args) {

Scanner sc = new Scanner(System.in);

int n = sc.nextInt(); // 基站数量（节点数）

int m = sc.nextInt(); // 基站对数量（边数）

Edge[] edges = new Edge[m];

for (int i = 0; i < m; i++) {

int x = sc.nextInt();

int y = sc.nextInt();

int z = sc.nextInt();

int p = sc.nextInt();

// 如果p==1，则可以认为x-y边权为0

edges[i] = new Edge(x, y, p == 0 ? z : 0);

}

System.out.println(kruskal(edges, n));

}

public static int kruskal(Edge[] edges, int n) {

int minWeight = 0;

// 按照边权升序

Arrays.sort(edges, (a, b) -> a.weight - b.weight);

UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n + 1);

// 最先遍历出来是边权最小的边

for (Edge edge : edges) {

// 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环

// 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）

if (ufs.find(edge.from) != ufs.find(edge.to)) {

minWeight += edge.weight;

ufs.union(edge.from, edge.to);

// 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，

// 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量

// 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量

if (ufs.count == 2) {

return minWeight;

}

}

}

return -1;

}

}

// 并查集

class UnionFindSet {

int[] fa;

int count;

public UnionFindSet(int n) {

this.fa = new int[n];

this.count = n;

for (int i = 0; i < n; i++) this.fa[i] = i;

}

public int find(int x) {

if (x != this.fa[x]) {

return (this.fa[x] = this.find(this.fa[x]));

}

return x;

}

public void union(int x, int y) {

int x_fa = this.find(x);

int y_fa = this.find(y);

if (x_fa != y_fa) {

this.fa[y_fa] = x_fa;

this.count--;

}

}

}

Python算法源码

Prim算法

import sys

# 输入获取

n = int(input()) # 基站数量（节点数）

m = int(input()) # 基站对数量（边数）

# 邻接矩阵, 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大

graph = [[sys.maxsize for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]

for _ in range(m):

x, y, z, p = map(int, input().split())

if p == 0:

# x-y边权为z

graph[x][y] = z

graph[y][x] = z

else:

# 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0

graph[x][y] = 0

graph[y][x] = 0

# Prim算法

def prim():

# 记录最小生成树的边权和

minWeight = 0

# inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中

inTree = [False] * (n + 1)

# 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1

inTree[1] = True

# 记录最小生成树中点数量

inTree_count = 1

# dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离

# 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离

dis = [0] * (n + 1)

for i in range(1, n + 1):

dis[i] = graph[1][i]

# 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环

while inTree_count < n:

# 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

minDis = sys.maxsize # minDis 记录这个最近距离

nodeIdx = 0 # idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

for i in range(1, n+1):

# 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

if not inTree[i] and dis[i] < minDis:

minDis = dis[i]

nodeIdx = i

# 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联

if nodeIdx == 0:

# 则说明，当前所有点无法形成最小生成树

return -1

inTree[nodeIdx] = True # 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx

inTree_count += 1 # 最小生成树中点数量+1

minWeight += dis[nodeIdx] # 更新最小生成树的权重和

# dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）

# 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近

for i in range(1, n+1):

if not inTree[i] and graph[nodeIdx][i] < dis[i]:

# 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，

# 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离

# 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离

dis[i] = graph[nodeIdx][i]

return minWeight

# 算法调用

print(prim())

Kruskal算法

# 并查集实现

class UnionFindSet:

def __init__(self, n):

self.fa = [i for i in range(n)]

self.count = n

def find(self, x):

if x != self.fa[x]:

self.fa[x] = self.find(self.fa[x])

return self.fa[x]

return x

def union(self, x, y):

x_fa = self.find(x)

y_fa = self.find(y)

if x_fa != y_fa:

self.fa[y_fa] = x_fa

self.count -= 1

# 输入获取

n = int(input()) # 基站数量（节点数）

m = int(input()) # 基站对数量（边数）

edges = []

for _ in range(m):

# 边起点，边终点，边权重（起点和终点关联代价），起点是否已和终点关联

x, y, z, p = map(int, input().split())

if p == 0:

# 起点和终点未关联

edges.append([x, y, z])

else:

# 起点和终点已关联，则实际关联代价为0

edges.append([x, y, 0])

# kruskal算法

def kruskal():

minWeight = 0

# 按照边权升序

edges.sort(key=lambda x: x[2])

ufs = UnionFindSet(n+1)

# 最先遍历出来是边权最小的边

for x, y, z in edges:

# 如果x节点 和 y节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环

# 因此只有当x节点 和 y节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）

if ufs.find(x) != ufs.find(y):

minWeight += z

ufs.union(x, y)

# 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，

# 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量

# 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量

if ufs.count == 2:

return minWeight

return -1

# 算法入口

print(kruskal())

C算法源码

Prim算法

#include <stdio.h>

#include <limits.h>

int n, m; // 基站数量（节点数）,基站对数量（边数）

int graph[21][21]; // 邻接矩阵

int prim() {

// 记录最小生成树的边权和

int minWeight = 0;

// inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中

int inTree[21] = {0};

// 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1

inTree[1] = 1;

// 记录最小生成树中点数量

int inTree_count = 1;

// dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离

int dis[21];

for (int i = 1; i <= n; i++) {

// 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离

dis[i] = graph[1][i];

}

// 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环

while (inTree_count < n) {

// 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

int minDis = INT_MAX; // minDis 记录这个最近距离

int nodeIdx = 0; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

for (int i = 1; i <= n; i++) {

// 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {

minDis = dis[i];

nodeIdx = i;

}

}

// 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联

if (nodeIdx == 0) {

// 则说明，当前所有点无法形成最小生成树

return -1;

}

inTree[nodeIdx] = 1; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx

inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1

minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

// dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）

// 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近

for (int i = 1; i <= n; i++) {

if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {

// 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，

// 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离

// 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离

dis[i] = graph[nodeIdx][i];

}

}

}

return minWeight;

}

int main() {

scanf("%d %d", &n, &m);

for (int i = 1; i <= n; i++) {

for (int j = 1; j <= n; j++) {

// 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大

graph[i][j] = INT_MAX;

}

}

for (int i = 0; i < m; i++) {

int x, y, z, p;

scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &p);

if (p == 0) {

// x-y边权为z

graph[x][y] = z;

graph[y][x] = z;

} else {

// 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0

graph[x][y] = 0;

graph[y][x] = 0;

}

}

printf("%d\n", prim());

return 0;

}

Kruskal算法

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

/** 并查集定义 **/

typedef struct {

int *fa;

int count;

} UFS;

UFS *new_UFS(int n) {

UFS *ufs = (UFS *) malloc(sizeof(UFS));

ufs->fa = (int *) malloc(sizeof(int) * n);

for (int i = 0; i < n; i++) {

ufs->fa[i] = i;

}

ufs->count = n;

return ufs;

}

int find_UFS(UFS *ufs, int x) {

if (x != ufs->fa[x]) {

ufs->fa[x] = find_UFS(ufs, ufs->fa[x]);

return ufs->fa[x];

}

return x;

}

void union_UFS(UFS *ufs, int x, int y) {

int x_fa = find_UFS(ufs, x);

int y_fa = find_UFS(ufs, y);

if (x_fa != y_fa) {

ufs->fa[y_fa] = x_fa;

ufs->count--;

}

}

/*** 边定义 ***/

typedef struct Edge {

int from; // 边起点

int to; // 边终点

int weight; // 边权重

} Edge;

int n, m;

Edge *edges;

int cmp(const void* a, const void* b) {

return ((Edge*) a)->weight - ((Edge*) b)->weight;

}

int kruskal() {

int minWeight = 0;

// 按照边权升序

qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);

UFS* ufs = new_UFS(n + 1);

// 最先遍历出来是边权最小的边

for(int i=0; i<m; i++) {

int x = edges[i].from;

int y = edges[i].to;

int z = edges[i].weight;

// 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环

// 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）

if(find_UFS(ufs, x) != find_UFS(ufs, y)) {

minWeight += z;

union_UFS(ufs, x, y);

// 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，

// 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量

// 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量

if(ufs->count == 2) {

return minWeight;

}

}

}

return -1;

}

int main() {

scanf("%d %d", &n, &m);

edges = (Edge*) malloc(sizeof(Edge) * m);

for (int i = 0; i < m; i++) {

int x, y, z, p;

scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &p);

edges[i].from = x;

edges[i].to = y;

if(p == 0) {

edges[i].weight = z;

} else {

// 如果p==1，则可以认为x-y边权为0

edges[i].weight = 0;

}

}

printf("%d\n", kruskal());

return 0;

}

C++算法源码

Prim算法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MAX_N 22

int n;

int graph[MAX_N][MAX_N];

int prim() {

// 记录最小生成树的边权和

int minWeight = 0;

// inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中

bool inTree[MAX_N] = {false};

// 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1

inTree[1] = true;

// 记录最小生成树中点数量

int inTree_count = 1;

// dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离

int dis[MAX_N];

for (int i = 1; i <= n; i++) {

// 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离

dis[i] = graph[1][i];

}

// 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环

while (inTree_count < n) {

// 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

// minDis 记录这个最近距离

int minDis = INT_MAX;

// idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

int nodeIdx = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) {

// 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {

minDis = dis[i];

nodeIdx = i;

}

}

// 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联

if (nodeIdx == 0) {

// 则说明，当前所有点无法形成最小生成树

return -1;

}

inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx

inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1

minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

// dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）

// 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近

for (int i = 1; i <= n; i++) {

if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {

// 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，

// 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离

// 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离

dis[i] = graph[nodeIdx][i];

}

}

}

return minWeight;

}

int main() {

// 基站数量（节点数）

cin >> n;

// 基站对数量（边数）

int m;

cin >> m;

// 邻接矩阵

for (int i = 1; i <= n; i++) {

for (int j = 1; j <= n; j++) {

// 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大

graph[i][j] = INT_MAX;

}

}

for (int i = 0; i < m; i++) {

int x, y, z, p;

cin >> x >> y >> z >> p;

if (p == 0) {

// x-y边权为z

graph[x][y] = z;

graph[y][x] = z;

} else {

// 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0

graph[x][y] = 0;

graph[y][x] = 0;

}

}

cout << prim() << endl;

return 0;

}

Kruskal算法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 并查集实现

class UnionFindSet {

public:

int *fa;

int count;

explicit UnionFindSet(int n) {

fa = new int[n];

count = n;

for (int i = 0; i < n; i++) fa[i] = i;

};

int find(int x) {

if (x != fa[x]) {

fa[x] = find(fa[x]);

return fa[x];

}

return x;

};

void merge(int x, int y) {

int x_fa = find(x);

int y_fa = find(y);

if (x_fa != y_fa) {

fa[y_fa] = x_fa;

count--;

}

};

};

// 边定义

class Edge {

public:

int from; // 边起点

int to; // 边终点

int weight; // 边权重

Edge(int from, int to, int weight) : from(from), to(to), weight(weight) {}

};

int n;

vector<Edge> edges;

int kruskal() {

int minWeight = 0;

// 按照边权升序

sort(edges.begin(), edges.end(), [](Edge &a, Edge &b) {

return a.weight < b.weight;

});

UnionFindSet ufs(n + 1);

// 最先遍历出来是边权最小的边

for (const auto &edge: edges) {

// 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环

// 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）

if (ufs.find(edge.from) != ufs.find(edge.to)) {

minWeight += edge.weight;

ufs.merge(edge.from, edge.to);

// 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，

// 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量

// 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量

if (ufs.count == 2) {

return minWeight;

}

}

}

return -1;

}

int main() {

// 基站数量（节点数）

cin >> n;

// 基站对数量（边数）

int m;

cin >> m;

for (int i = 0; i < m; i++) {

int x, y, z, p;

cin >> x >> y >> z >> p;

// 如果p==1，则可以认为x-y边权为0

edges.emplace_back(x, y, p == 0 ? z : 0);

}

cout << kruskal() << endl;

return 0;

}