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🌈前言🔥AVL树的概念🔥AVL树的自实现==AVL树结点的定义====AVL树需实现的函数接口====AVL树的插入====AVL树的旋转==右单旋左单旋左右双旋右左双旋

==Insert====Find====拷贝构造====Size====析构函数====二叉搜索树的验证==

🌈结语

🌈前言

本篇博客主要内容：AVL树的介绍，以及其底层代码逻辑和实现。

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

而我们今天所要说的AVL树就是平衡树的一种。

🔥AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一颗AVL树，是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树左右子树高度差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（1/0/-1）

如果一个二叉搜索树树的高度平衡，那它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可以保持在<code>O(log_2 N)，搜索复杂度同样为O(log_2 N)。

🔥AVL树的自实现

AVL树结点的定义

AVL树的结点包含四个成员变量，一个pair：存储Key和Value；三个指针：指向左孩子结点的指针，指向右孩子结点的指针，指向父结点的指针；最后还有一个_bf，存储当前结点平衡因子的值（反映以当前结点为根的树的平衡状态）。

template<class K, class V>

struct AVLTreeNode

{

AVLTreeNode<K, V>(const std::pair<K, V>& kv)

: _kv(kv)

, _left(nullptr)

, _right(nullptr)

, _parent(nullptr)

, _bf(0)

{ }

std::pair<K, V> _kv;

AVLTreeNode<K, V>* _left;

AVLTreeNode<K, V>* _right;

AVLTreeNode<K, V>* _parent;

int _bf; // balance factor

};

AVL树需实现的函数接口

template<class K, class V>

class AVLTree

{

typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

public:

// 默认构造

AVLTree() = default;

// 拷贝构造

AVLTree(const AVLTree<K, V>& t);

// AVL树的插入

bool Insert(const std::pair<K,V> kv);

// AVL树的查找

Node* Find(const K& key);

// AVL树的析构

~AVLTree();

// AVL树的验证

bool IsAVLTree();

// 计算结点数

size_t Size();

private:

Node* _root = nullptr;

};

}

AVL树的插入

往AVL树中插入元素，首先按照二叉搜索树的插入方式进行结点的插入。再根据插入元素的位置调整平衡因子，如平衡因子的绝对值大于1（结点左右孩子高度差的绝对值大于1），则需要对树的平衡进行调整（这个调整的过程常被称为旋转）。

在已有的AVL树中插入结点，更新平衡因子遵循以下规律：

插入的cur结点为其父节点parent的左孩子，parent结点的平衡因子-1插入的cur结点为其父节点parent的右孩子，parent结点的平衡因子+1

在父节点parent更新平衡因子之后，是否继续往祖先更新平衡因子，遵循以下规律：

parent平衡因子==0（平衡因子更新前为1/-1）

parent所在子树高度不变，不需继续往上更新。parent的平衡因子==1/-1（平衡因子更新前为0）

parent所在子树高度变化，需要继续往上更新。parent的平衡因子==2/-2（平衡因子更新前为1/-1）

插入结点在高的一边，加剧了parent所在子树的不平衡，旋转处理。

AVL树的旋转

旋转是为了将不平衡的二叉搜索树调整为平衡的二叉搜索树。

主要分四种旋转，两种单旋：右单旋和左单旋；以及两种双旋：左右双旋和右左双旋。

右单旋

当将新结点插入到较高左子树的左侧时（左左：右单旋），进行右单旋。

<code>// 右单旋

void RotateR(Node* parent)

{

// subL可看作图中30，parent可看作图中60

Node* subL = parent->_left;

// subLR可看作图中b

Node* subLR = subL->_right;

// parentParent为parent的父节点

Node* parentParent = parent->_parent;

if (subLR)

subLR->_parent = parent;

subL->_right = parent;

subL->_parent = parentParent;

parent->_left = subLR;

parent->_parent = subL;

if (parentParent == nullptr) {

_root = subL;

}

else {

if (parentParent->_left == parent) {

parentParent->_left = subL;

}

else

parentParent->_right = subL;

}

// 单旋后记得调整平衡因子

subL->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

左单旋

当将新结点插入到较高右子树的右侧时（右右：左单旋），进行左单旋。

<code>// 左单旋

void RotateL(Node* parent)

{

// subR可看作图中60，parent可看作图中30

Node* subR = parent->_right;

// subRL可看作图中b

Node* subRL = subR->_left;

// parentParent为parent的父结点

Node* parentParent = parent->_parent;

if (subRL)

subRL->_parent = parent;

subR->_left = parent;

subR->_parent = parentParent;

parent->_right = subRL;

parent->_parent = subR;

if (parentParent == nullptr) {

_root = subR;

}

else {

if (parentParent->_left == parent) {

parentParent->_left = subR;

}

else

parentParent->_right = subR;

}

// 单旋结束调整平衡因子

subR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

左右双旋

双旋中，主要考虑的因素是平衡因子的调整。

当新结点插入较高左子树的右侧（左右：先左单旋再右单旋），进行左右双旋。

<code>void RotateLR(Node* parent)

{

Node* subL = parent->_left;

Node* subLR = subL->_right;

// 根据subLR的平衡因子

// 可以知道结点插入的位置（其 左子树/右子树）

// 从而便于调整subL和parent的平衡因子

int bf = subLR->_bf;

// 左右双旋

RotateL(parent->_left);

RotateR(parent);

// 调整平衡因子

if (bf == 0) {

subL->_bf = 0;

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else if (bf == 1) {

subL->_bf = -1;

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else if (bf == -1) {

subL->_bf = 0;

subLR->_bf = 0;

parent->_bf = 1;

}

else assert(false);

}

右左双旋

双旋中，主要考虑的因素是平衡因子的调整。

当新结点插入较高右子树的左侧（右左：先右单旋再左单旋），进行右左双旋。

<code>void RotateRL(Node* parent)

{

Node* subR = parent->_right;

Node* subRL = subR->_left;

// 根据subRL的平衡因子

// 可以知道结点插入的位置（其 左子树/右子树）

// 从而便于调整subR和parent的平衡因子

int bf = subRL->_bf;

// 右左双旋

RotateR(parent->_right);

RotateL(parent);

if (bf == 0) {

subR->_bf = 0;

subRL->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else if (bf == 1) {

subR->_bf = 0;

subRL->_bf = 0;

parent->_bf = -1;

}

else if (bf == -1) {

subR->_bf = 1;

subRL->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}

else assert(false);

}

Insert

AVL树，插入实现代码：

bool Insert(const std::pair<K,V> kv)

{

// 开始是二叉搜索树的插入

if (_root == nullptr) {

_root = new Node(kv);

return true;

}

Node* parent = nullptr;

Node* cur = _root;

while (cur) {

if (cur->_kv.first < kv.first) {

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

else if (cur->_kv.first > kv.first) {

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

else return false;

}

if (parent->_kv.first < kv.first) {

cur = new Node(kv);

parent->_right = cur;

cur->_parent = parent;

}

else {

cur = new Node(kv);

parent->_left = cur;

cur->_parent = parent;

}

// 开始对平衡因子进行更新

// 出现不平衡进行时旋转调整

while (parent) {

if (parent->_right == cur)

parent->_bf++;

else if (parent->_left == cur)

parent->_bf--;

if (parent->_bf == 0)

break;

else if (parent->_bf == 2) {

if (parent->_right->_bf == 1) {

RotateL(parent);

}

else if (parent->_right->_bf == -1) {

RotateRL(parent);

}

break;

}

else if (parent->_bf == -2) {

if (parent->_left->_bf == -1) {

RotateR(parent);

}

else if (parent->_left->_bf == 1) {

RotateLR(parent);

}

break;

}

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

return true;

}

Find

AVL树的查找和二叉搜索树相同：

Node* Find(const K& key)

{

Node* cur = _root;

while (cur) {

if (cur->_kv.first < key)

cur = cur->_right;

else if (cur->_kv.first > key)

cur = cur->_left;

else return cur;

}

return nullptr;

}

拷贝构造

与二叉搜索树相同。

AVLTree(const AVLTree<K, V>& t)

{

_root = _Copy(t._root);

}

Node* _Copy(Node* root)

{

if (root == nullptr)return nullptr;

Node* newRoot = new Node(root->_kv);

newRoot->_left = _Copy(root->_left);

newRoot->_right = _Copy(root->_right);

return newRoot;

}

Size

计算AVL树的结点个数。

size_t Size()

{

return _Size(_root);

}

size_t _Size(Node* root)

{

return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;

}

析构函数

析构也是通过递归实现,释放结点。

~AVLTree()

{

Destroy(_root);

_root = nullptr;

}

void Destroy(Node* root)

{

if (root == nullptr)return;

Destroy(root->_left);

Destroy(root->_right);

delete root;

}

二叉搜索树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1节点的平衡因子是否计算正确（右树高度 - 左树高度 == 当前结点平衡因子）

// AVL树的验证

bool IsAVLTree()

{

return _IsAVLTree(_root);

}

bool _IsAVLTree(Node* root)

{

if (root == nullptr)

return true;

int left_bf = _Height(root->_left);

int right_bf = _Height(root->_right);

// 每个节点子树高度差的绝对值不超过1

if (abs(left_bf - right_bf) >= 2) {

return false;

}

// 节点的平衡因子是否计算正确

if (right_bf - left_bf != root->_bf)

return false;

return _IsAVLTree(root->_left)

&& _IsAVLTree(root->_right);

}

🌈结语

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log_2 (N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但如果要对其进行大量增删，则不建议使用。

本篇博客介绍了AVL树及其基本实现，感谢大家的支持♥