MATLAB | 如何使用MATLAB优雅的推公式，全网最全MATLAB符号表达式使用教程

slandarer 2024-08-28 15:35:02 阅读 90

HEY，各位这次是真的好久不见，本期推送来教大家如何使用MATLAB推公式并使用推出来的结果。

本文说白了就是讲符号表达式这个东西咋用，所使用最重要的函数就是<code>syms，在开始前，首先要保证自己的MATLAB安装了Symbolic Math Toolbox工具箱！

1 公式显示

展示一下如何使用m-文件和实时编辑器使用syms函数并如何显示结果：

脚本(m-文件)

首先假如在m-文件编写如下代码（使用syms函数将x y 设置为符号变量，并生成了简单的公式，使用pretty函数更美观的展示公式），则运行结果如下：

syms x y

% syms x

% 等价于

% x = sym('x')

f = sin(x^3/y) + (y^3/x)

pretty(f)

% f =

%

% sin(x^3/y) + y^3/x

%

% / 3 \ 3

% | x | y

% sin| -- | + --

% \ y / x

实时脚本

创建实时脚本：

输入公式并运行：

结果显示：

2 常用函数

展示一下常用的积分，极限，累加和等函数都是哪些？我们直接拿真正的数学题来算算得了：

不定积分与定积分(int)

吉林大学2021年数学分析题目(一(5))

求积分

∫

tan

⁡

\int \frac{d x}{2+\tan ^2 x}

∫2+tan2xdx

<code>syms x

f=1/(2 + tan(x)^2);

int(f)

ans =

x

−

2

atan

⁡

(

2

tan

⁡

(

x

)

2

)

2

x-\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}\left(\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{2}\right)}{2}

x−22

atan(22

tan(x))

吉林大学2021年数学分析题目(一(6))

求定积分

∫

arcsin

⁡

\int_0^3 \arcsin \frac{x}{x+1}

∫03arcsinx+1x

syms x

f=asin(x/(x + 1));

% 变量是 x，积分上下限 0 - 3

int(f, x, 0, 3)

ans =

π

2

−

atan

⁡

(

7

3

)

+

3

asin

⁡

(

3

4

)

−

7

+

1

\frac{\pi}{2}-\operatorname{atan}\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)+3 \operatorname{asin}\left(\frac{3}{4}\right)-\sqrt{7}+1

2π−atan(37

)+3asin(43)−7

+1

极限（limit)

吉林大学2021年数学分析题目(一(3))

求极限

lim

⁡

→

−

∫

cos

⁡

(

)

sin

⁡

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\int_0^{x^2} \cos \left(t^2\right) d t}{\sin ^{10} x}

x→0limsin10xx2−∫0x2cos(t2)dt

这里对

cos

⁡

(

)

\cos \left(t^2\right)

cos(t2)积分涉及菲涅耳函数一般肯定算不出来，得洛，但MATLAB就直接硬刚就完事了嗷。

syms x t

f = (x^2 - int(cos(t^2), t, 0, x^2))/(sin(x))^10

limit(f, x, 0)

f =

x

2

−

2

π

C

(

2

x

2

π

)

2

sin

⁡

(

x

)

10

\frac{x^2-\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \mathrm{C}\left(\frac{\sqrt{2} x^2}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}}{\sin (x)^{10}}

sin(x)10x2−22

π

C(π

2

x2)

ans =

1

10

\frac{1}{10}

101

级数(symsum)

吉林大学2021年数学分析题目(一(9))

求级数

∑

∞

(

−

)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2 n-1)}

∑n=1∞2n(2n−1)1的和.

syms n

symsum(1/(2^n)/(2*n - 1), n, 1, inf)

ans =

2

2

atanh

⁡

(

2

2

)

\frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{atanh}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

22

atanh(22

)

导数(diff)

求

asin

⁡

(

)

−

\frac{\operatorname{asin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}

1−x2

asin(x)的三阶导数：

syms x

f = asin(x)/sqrt(1 - x^2);

diff(f, x, 3)

ans =

4

(

x

2

−

1

)

2

−

15

x

2

(

x

2

−

1

)

3

+

15

x

3

asin

⁡

(

x

)

(

1

−

x

2

)

7

/

2

+

9

x

asin

⁡

(

x

)

(

1

−

x

2

)

5

/

2

\frac{4}{\left(x^2-1\right)^2}-\frac{15 x^2}{\left(x^2-1\right)^3}+\frac{15 x^3 \operatorname{asin}(x)}{\left(1-x^2\right)^{7 / 2}}+\frac{9 x \operatorname{asin}(x)}{\left(1-x^2\right)^{5 / 2}}

(x2−1)24−(x2−1)315x2+(1−x2)7/215x3asin(x)+(1−x2)5/29xasin(x)

泰勒展开(taylor)

中国海洋大学2021年数学分析题目(1(2))

求二元函数

(

)

⁡

(

)

f(x, y)=\ln \left(1+x^2+y^2\right)

f(x,y)=ln(1+x2+y2)在(0,0)到4阶项的泰勒展开式。

syms x y

f=log(1 + x^2 + y^2);

taylor(f, [x,y], [0,0], 'Order',5)

ans =

−

x

4

2

−

x

2

y

2

+

x

2

−

y

4

2

+

y

2

-\frac{x^4}{2}-x^2 y^2+x^2-\frac{y^4}{2}+y^2

−2x4−x2y2+x2−2y4+y2

3 变量格式

我们可以用syms函数将字母变成符号变量，也能变成符号函数，符号矩阵，同时也可以设置变量的一些属性，比如非负性等属性。

符号变量性质

可以设置为 real | positive | integer | rational

比如我们运行如下代码，能看出预设变量是正数和不做预设的区别：

syms x

f1 = sqrt(x^2)

% f1 = sqrt(x^2)

syms x positive

f2 = sqrt(x^2)

% f2 = x

大家可能会好奇，嗯?只能设置为positive正数嘛，我想设置为负数咋办？更加复杂的设置可以通过assume函数来完成：

再随便举个例子：

<code>syms x

f = 1/abs(x^2 - 1);

int(f, x)

% ans = -atanh(x)/sign(x^2 - 1)

assume(x^2 - 1 > 0)

int(f, x)

% ans = -atanh(x)

符号矩阵

syms X [3,4]

X

X = $

\left(\begin{array}{llll}

X_{1,1} & X_{1,2} & X_{1,3} & X_{1,4} \

X_{2,1} & X_{2,2} & X_{2,3} & X_{2,4} \

X_{3,1} & X_{3,2} & X_{3,3} & X_{3,4}

\end{array}\right)

$

syms 'X_a%d%d' [2,2]

X_a

X_a =

(

X

a

11

X

a

12

X

a

21

X

a

22

)

\left(\begin{array}{ll}X_{\mathrm{a} 11} & X_{\mathrm{a} 12} \\ X_{\mathrm{a} 21} & X_{\mathrm{a} 22}\end{array}\right)

(Xa11Xa21Xa12Xa22)

符号函数

syms f(x,y)

M = f(2,3) + f^2

M(x, y) =

f

(

x

,

y

)

2

+

f

(

2

,

3

)

f(x, y)^2+f(2,3)

f(x,y)2+f(2,3)

符号函数矩阵

syms f(x,y) [2,2]

f

f(x, y) =

(

f

1

,

1

(

x

,

y

)

f

1

,

2

(

x

,

y

)

f

2

,

1

(

x

,

y

)

f

2

,

2

(

x

,

y

)

)

\left(\begin{array}{ll}f_{1,1}(x, y) & f_{1,2}(x, y) \\ f_{2,1}(x, y) & f_{2,2}(x, y)\end{array}\right)

(f1,1(x,y)f2,1(x,y)f1,2(x,y)f2,2(x,y))

将符号函数矩阵的元素替换的方法还是挺奇怪的：

f1_1(x,y) = 2*x;

f2_2(x,y) = x^2 + 1;

f = subs(f)

f(x, y) =

(

2

x

f

1

,

2

(

x

,

y

)

f

2

,

1

(

x

,

y

)

x

2

+

1

)

\left(\begin{array}{cc}2 x & f_{1,2}(x, y) \\ f_{2,1}(x, y) & x^2+1\end{array}\right)

(2xf2,1(x,y)f1,2(x,y)x2+1)

再带入数值：

f(2,3)

ans =

(

4

f

1

,

2

(

2

,

3

)

f

2

,

1

(

2

,

3

)

5

)

\left(\begin{array}{cc}4 & f_{1,2}(2,3) \\ f_{2,1}(2,3) & 5\end{array}\right)

(4f2,1(2,3)f1,2(2,3)5)

抽象矩阵

R2021A版本及以后，矩阵符号运算也被支持啦！！

x = symmatrix('x', [5,1]);

A = symmatrix('A', [5,5]);

% 等同于：

% syms x [5,1] matrix

% syms A [5,5] matrix

f = x.'*A*x - x.'*x

H = diff(f, x)

inv(A)

f =

−

x

T

x

+

x

T

A

x

-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}

−xTx+xTAx

H =

x

T

A

−

2

x

T

+

x

T

A

T

\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}

xTA−2xT+xTAT

ans =

A

−

1

\boldsymbol{A}^{\mathrm{-1}}

A−1

抽象复合函数

举个例子：

syms f1(x,y) f2(x,y) F(x,y)

dFdx = diff(F(f1, f2), x)

求解结果：

dFdx = D([1], F)(f1(x, y), f2(x, y))*diff(f1(x, y), x) + D([2], F)(f1(x, y), f2(x, y))*diff(f2(x, y), x)

在实时编辑器中的显示：

dFdx =

D

1

(

F

)

(

f

1

(

x

,

y

)

,

f

2

(

x

,

y

)

)

∂

∂

x

f

1

(

x

,

y

)

+

D

2

(

F

)

(

f

1

(

x

,

y

)

,

f

2

(

x

,

y

)

)

∂

∂

x

f

2

(

x

,

y

)

\mathrm{D}_1(F)\left(f_1(x, y), f_2(x, y)\right) \frac{\partial}{\partial x} f_1(x, y)+\mathrm{D}_2(F)\left(f_1(x, y), f_2(x, y)\right) \frac{\partial}{\partial x} f_2(x, y)

D1(F)(f1(x,y),f2(x,y))∂x∂f1(x,y)+D2(F)(f1(x,y),f2(x,y))∂x∂f2(x,y)

再举一个例子：

syms f(a,b) x

diff(f(x^2, x+1), x)

ans =

2

x

D

1

(

f

)

(

x

2

,

x

+

1

)

+

D

2

(

f

)

(

x

2

,

x

+

1

)

2 x \mathrm{D}_1(f)\left(x^2, x+1\right)+\mathrm{D}_2(f)\left(x^2, x+1\right)

2xD1(f)(x2,x+1)+D2(f)(x2,x+1)

4 公式化简

simplify

使用simplify函数可以对公式进行化简，例如：

syms x

M = [(x^2 + 5*x + 6)/(x + 2), sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x);

(exp(-x*1i)*1i)/2 - (exp(x*1i)*1i)/2, sqrt(16)]

S = simplify(M)

M =

(

x

2

+

5

x

+

6

x

+

2

cos

⁡

(

2

x

)

cos

⁡

(

x

)

+

sin

⁡

(

2

x

)

sin

⁡

(

x

)

e

−

x

i

i

2

−

e

x

i

i

2

4

)

\left(\begin{array}{lc}\frac{x^2+5 x+6}{x+2} & \cos (2 x) \cos (x)+\sin (2 x) \sin (x) \\ \frac{\mathrm{e}^{-x \mathrm{i}} \mathrm{i}}{2}-\frac{\mathrm{e}^{x \mathrm{i}} \mathrm{i}}{2} & 4\end{array}\right)

(x+2x2+5x+62e−xii−2exiicos(2x)cos(x)+sin(2x)sin(x)4)

S =

(

x

+

3

cos

⁡

(

x

)

sin

⁡

(

x

)

4

)

\left(\begin{array}{cc}x+3 & \cos (x) \\ \sin (x) & 4\end{array}\right)

(x+3sin(x)cos(x)4)

公式化简不到位

我们使用simplify时可能会遇到化简化的不完全的情况，例如：

∫

∞

\int_0^{+\infty} \frac{x^2+1}{x^4+1} d x

∫0+∞x4+1x2+1dx

这个积分化简出来应该是个常数，但是simplify化简出来是个公式：

syms x

f1 = (x^2 + 1)/(x^4 + 1);

f2 = int(f1, x, 0, inf);

f3 = simplify(f2)

% f3 =

% (2^(1/2)*(4*pi - log(- 1/2 - 1i/2)*1i + log(- 1/2 + 1i/2)*1i - log(1/2 - 1i/2)*1i + log(1/2 + 1i/2)*1i))/4

明显化简的不够完全，可以多化简几步例如直接1000步：

f3 = simplify(f2, 'Steps',1000)

% f3 =

% (pi*2^(1/2))/2

当然不同化简步数有着不同结果，例如：

不同化简步数

举个例子：

syms x

expr = ((exp(-x*1i)*1i) - (exp(x*1i)*1i))/(exp(-x*1i) + exp(x*1i));

S = simplify(expr)

−

\begin{aligned} & \mathrm{S}= -\frac{\mathrm{e}^{2 x i} \mathrm{i}-\mathrm{i}}{\mathrm{e}^{2 x \mathrm{i}}+1} \end{aligned}

S=−e2xi+1e2xii−i

S10 = simplify(expr, 'Steps',10)

−

\begin{aligned} & S 10= \frac{2 i}{e^{2 x i}+1}-\mathrm{i} \end{aligned}

S10=e2xi+12i−i

S30 = simplify(expr, 'Steps',30)

(

cos

⁡

(

)

−

sin

⁡

(

)

cos

⁡

(

)

−

\begin{aligned} \mathrm{S} 30= \frac{(\cos (x)-\sin (x) \mathrm{i}) \mathrm{i}}{\cos (x)}-\mathrm{i} \end{aligned}

S30=cos(x)(cos(x)−sin(x)i)i−i

S530 = simplify(expr, 'Steps',50)

tan

⁡

(

)

\mathrm{S} 50=\tan (x)

S50=tan(x)

特殊化简

同时有些先平方再开方，或者外面套着ln函数的不好化简，可以设置IgnoreAnalyticConstraints属性为true.

syms x

expr = (log(x^2 + 2*x + 1) - log(x + 1))*sqrt(x^2);

S = simplify(expr)

−

(

log

⁡

(

)

−

log

⁡

(

)

S=-\left(\log (x+1)-\log \left((x+1)^2\right)\right) \sqrt{x^2}

S=−(log(x+1)−log((x+1)2))x2

S = simplify(expr, 'IgnoreAnalyticConstraints',true)

log

⁡

(

)

\mathrm{S}=x \log (x+1)

S=xlog(x+1)

不同化简格式

使用All属性函数可以获取全部等效化简：

syms x

expr = cos(x)^2 - sin(x)^2;

S = simplify(expr, 'All',true)

(

cos

⁡

(

)

cos

⁡

(

)

−

sin

⁡

(

)

\begin{aligned} & \mathrm{S}= \\ & \left(\begin{array}{c} \cos (2 x) \\ \cos (x)^2-\sin (x)^2 \end{array}\right) \end{aligned}

S=(cos(2x)cos(x)2−sin(x)2)

也可以和化简步数结合：

S = simplify(expr, 'Steps',10, 'All',true)

(

cos

⁡

(

)

−

sin

⁡

(

)

cos

⁡

(

)

−

cos

⁡

(

)

−

sin

⁡

(

)

cot

⁡

(

)

sin

⁡

(

)

−

)

\begin{aligned} & \mathrm{S}= \\ & \left(\begin{array}{c} \cos (2 x) \\ 1-2 \sin (x)^2 \\ 2 \cos (x)^2-1 \\ \cos (x)^2-\sin (x)^2 \\ \cot (2 x) \sin (2 x) \\ \frac{\mathrm{e}^{-2 x \mathrm{i}}}{2}+\frac{\mathrm{e}^{2 x \mathrm{i}}}{2} \end{array}\right) \end{aligned}

cos(2x)1−2sin(x)22cos(x)2−1cos(x)2−sin(x)2cot(2x)sin(2x)2e−2xi+2e2xi

5 公式格式

就我化简出来既有

sin

⁡

(

)

\sin(x)

sin(x) 也有

e^x

ex ，但我偏偏不要，欸哪怕有复数我也要全

cos

⁡

(

)

\cos(x)

cos(x) 的公式？怎么自由进行公式替换？

先从一个最简单的例子来看叭，假设我的公式是

sin

⁡

(

)

cos

⁡

(

)

\sin(x)+\cos(x)

sin(x)+cos(x) 我想自动让MATLAB将其替换为纯

sin

⁡

(

)

\sin(x)

sin(x) 的公式咋办？此例子与问题来自@丁丁曜曜.

方法一 All 属性

可以使用 simplify 函数化简的时候选择 All 属性为true，就能展示所有的等价化简:

syms x

expr = sin(x)+cos(x);

S = simplify(expr,'All',true)

% S =

% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)

% 2^(1/2)*cos(x - pi/4)

% cos(x) + sin(x)

例如题目中的式子就有三个等效化简，我们选择第一个只含

sin

⁡

\sin

sin 的化简即可：

S(1)

% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)

方法二 sin 函数重写

借助rewrite函数，使用sin函数重写表达式并化简：

syms x

expr = sin(x) + cos(x);

simplify(rewrite(expr, 'sin'))

% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)

方法三 subs 替换

可以在化简前先把所有的

cos

⁡

(

)

\cos(x)

cos(x) 使用

sin

⁡

(

)

\sin (x+\pi / 2)

sin(x+π/2) 进行替换，再使用 simplify 函数化简，就可以得到只含有

sin

⁡

(

)

\sin(x)

sin(x) 的公式：

syms x

y = sin(x) + cos(x);

% y = sin(x)+cos(x)

y1 = subs(y, cos(x), sin(x+pi/2));

y2 = simplify(y1)

% y2 = 2^(1/2)*sin(x + pi/4)

pretty(y2)

% / pi \

% sqrt(2) sin| x + -- |

% \ 4 /

方法四 combine 函数结合

不过只能生成cos的表达式：

syms x

expr = sin(x) + cos(x);

sc = combine(expr, 'sincos')

% 2^(1/2)*cos(x - pi/4)

注：只能合并生成cos表达式是因为合并各项使用的公式导致的：

该函数用的不是特别多，详细描述可自行查看：

https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.combine.html

以下是更多与格式相关的函数讲解：

expand 详讲

与 combine 函数函数相对，expand 函数可以把公式展开：

<code>syms x y

expand(cos(x + y))

% ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

rewrite 详讲

再详细讲讲rewrite这个函数叭，很有意思，能重写的格式很多，例如

sin

⁡

(

)

\sin(x)

sin(x) 用

e^x

ex 重写：

syms x

sin2exp = rewrite(sin(x), "exp")

sin

⁡

exp

⁡

−

\begin{aligned} & \sin 2 \exp = \frac{\mathrm{e}^{-x \mathrm{i}} \mathrm{i}}{2}-\frac{\mathrm{e}^{x \mathrm{i}} \mathrm{i}}{2}\end{aligned}

sin2exp=2e−xii−2exii

arccos

⁡

(

)

\arccos(x)

arccos(x) 用

⁡

\ln

ln 重写：

syms x

acos2log = rewrite(acos(x), "log")

acot

⁡

log

⁡

log

⁡

(

−

)

−

log

⁡

(

)

\begin{aligned} & \operatorname{acot} 2 \log = \frac{\log \left(1-\frac{\mathrm{i}}{x}\right) \mathrm{i}}{2}-\frac{\log \left(1+\frac{\mathrm{i}}{x}\right) \mathrm{i}}{2} \end{aligned}

acot2log=2log(1−xi)i−2log(1+xi)i

全部重新格式：

取消简写

一些复杂公式若有重复的部分则会自动简写，例如：

<code>syms a b c d x

f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d;

outputAbbrev = sin(f) + cos(f) + tan(f) + log(f) + 1/f

outputAbbrev =

$

\cos \left(\sigma_1\right)+\log \left(\sigma_1\right)+\sin \left(\sigma_1\right)+\tan \left(\sigma_1\right)+\frac{1}{\sigma_1}

$

where

$

\sigma_1=a x^3+b x^2+c x+d

$

可使用以下代码取消简写：

sympref('AbbreviateOutput', false);

outputLong = sin(f) + cos(f) + tan(f) + log(f) + 1/f

outputAbbrev =

cos

⁡

(

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

)

+

log

⁡

(

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

)

+

sin

⁡

(

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

)

+

tan

⁡

(

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

)

+

1

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

\cos \left(a x^3+b x^2+c x+d\right)+\log \left(a x^3+b x^2+c x+d\right)+\sin \left(a x^3+b x^2+c x+d\right)+\tan \left(a x^3+b x^2+c x+d\right)+\frac{1}{a x^3+b x^2+c x+d}

cos(ax3+bx2+cx+d)+log(ax3+bx2+cx+d)+sin(ax3+bx2+cx+d)+tan(ax3+bx2+cx+d)+ax3+bx2+cx+d1

5 公式使用与导出

公式用于数值计算

一个很简单的带入数值的方法：

syms x y

f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));

M(x,y) = f;

M(1,2)

% ans = 1/5^log(2)

M(1,x^3)

% ans = (x^6 + 1)^log(1/x^3)

M([1,1],[2,3])

% ans = [1/5^log(2), 1/10^log(3)]

fsurf(M)

除此之外可以使用<code>subs函数进行元素替换：

syms x y

f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));

subs(f, [x,y], [1,2])

% ans = 1/5^log(2)

还可以转化为效率更高的匿名函数：

syms x y

f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));

F = matlabFunction(f)

% F =

% 包含以下值的 function_handle:

% @(x,y)(x.^3+y.^2).^log(x./y)

F(1, 2)

% ans = 0.3277

F([1,2,3], [2,2,2])

% ans = 0.3277 1.0000 4.0243

变换成匿名函数依旧可以直接用fplot, fsurf等函数绘图：

syms x y

f = (x^3 + y^2);

F = matlabFunction(f)

fsurf(F)

摘取矩阵的部分元素

假设我们求出公式来是个矩阵，但我们只想要他的某个元素而并不想要整个矩阵，那该咋办呢？直接使用formula函数即可获取矩阵每个位置的元素，再通过索引获取即可：

<code>syms x

H = [x^3, x^2 + 1; x, log(x)]^3;

HM = formula(H);

HM(1,1)

% ans = x^3*(x*(x^2 + 1) + x^6) + (x^2 + 1)*(x*log(x) + x^4)

公式存储

我们可以通过matlabFunction将结果存储为一个可调用的函数：

syms x

sols = root(x^5 - x^4 - 1,x)

matlabFunction(sols, "File","myfile.m");

存储结果：

function sols = myfile

%MYFILE

% SOLS = MYFILE

% This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 24.1.

% 2024-07-10 22:53:59