原理

季节性自回归积分移动平均模型（Seasonal ARIMA, SARIMA）是时间序列分析中处理季节性数据的一种重要方法。SARIMA 模型在 ARIMA 模型的基础上，增加了处理季节性成分的部分。SARIMA 模型的常见表示形式为 SARIMA(p, d, q)(P, D, Q, m)，其中：

p：非季节性自回归（AR）阶数。d：非季节性差分（I）次数。q：非季节性移动平均（MA）阶数。P：季节性自回归（SAR）阶数。D：季节性差分（SI）次数。Q：季节性移动平均（SMA）阶数。m：季节周期的长度（如月份数据的 m=12，季度数据的 m=4）。

SARIMA 模型的数学表达式为：

其中：

和

是非季节性和季节性自回归系数。

和

是非季节性和季节性移动平均系数。B 是滞后算子。

是白噪声误差项。

通过这种表示形式，SARIMA 模型可以同时处理时间序列中的非季节性和季节性成分，使得模型更适用于有明显季节性变化的时间序列数据。

适用情况

SARIMA 模型适用于以下情况：

具有季节性模式：SARIMA 模型特别适用于具有季节性模式的时间序列数据。季节性模式是指时间序列在特定时间间隔内呈现出周期性变化。短期和中期预测：SARIMA 模型既可以用于短期预测，也可以用于中期预测，特别是在处理季节性数据时效果显著。非平稳时间序列：与 ARIMA 模型类似，SARIMA 模型也适用于非平稳时间序列数据，通过差分处理可以将其转化为平稳时间序列。

Python 示例代码

以下是使用 Python 实现季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）的示例代码，利用 <code>statsmodels 库进行建模和预测：

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 生成样本数据

np.random.seed(0)

data = np.random.randn(120).cumsum() + 10 * np.sin(np.linspace(0, 24, 120))

# 创建数据序列

data_series = pd.Series(data, index=pd.date_range(start='2020-01', periods=120, freq='M'))code>

# 可视化数据

plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.plot(data_series)

plt.title('Sample Time Series Data with Seasonality')

plt.show()

# 检查数据平稳性

result = adfuller(data_series)

print('ADF Statistic:', result[0])

print('p-value:', result[1])

# 差分处理使数据平稳

if result[1] > 0.05:

data_series_diff = data_series.diff().dropna()

result_diff = adfuller(data_series_diff)

print('Differenced ADF Statistic:', result_diff[0])

print('Differenced p-value:', result_diff[1])

# 应用SARIMA模型

p = 1 # 非季节性自回归阶数

d = 1 # 非季节性差分次数

q = 1 # 非季节性移动平均阶数

P = 1 # 季节性自回归阶数

D = 1 # 季节性差分次数

Q = 1 # 季节性移动平均阶数

m = 12 # 季节周期

model = SARIMAX(data_series, order=(p, d, q), seasonal_order=(P, D, Q, m)).fit()

print(model.summary())

# 进行预测

pred_start = len(data_series)

pred_end = len(data_series) + 12

predictions = model.predict(start=pred_start, end=pred_end, dynamic=False)

# 可视化结果

plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.plot(data_series, label='Original Data')code>

plt.plot(predictions, label='Predictions', color='red')code>

plt.legend()

plt.title('Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Model (SARIMA)')

plt.show()

在上述代码中：

我们首先生成了一些带有季节性成分的样本数据，并将其创建为一个 Pandas 系列对象。使用 adfuller 函数检查数据的平稳性。如果数据不是平稳的，可以通过差分处理使其平稳。使用 SARIMAX 类拟合 SARIMA 模型，并打印模型摘要。注意，这里我们指定了 SARIMA(p, d, q)(P, D, Q, m) 模型的阶数。使用拟合好的模型进行预测，并将预测结果与原始数据进行可视化。

结论