在数学和线性代数中，范数（Norm）是一种测量向量大小或长度的工具。以下是常见的三种范数：

2范数（Euclidean Norm）：

2范数，也称为欧几里得范数，表示向量在欧几里得空间中的长度。对于向量

v

=

(

v

1

,

v

2

,

…

,

v

n

)

\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)

v=(v1​,v2​,…,vn​)，其2范数定义为：

∥

v

∥

2

=

v

1

2

+

v

2

2

+

⋯

+

v

n

2

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}

∥v∥2​=v12​+v22​+⋯+vn2​

​

这种范数测量的是向量的欧几里得距离。

1范数（Manhattan Norm）：

1范数，也称为曼哈顿范数或绝对值和范数，表示向量各元素绝对值的总和。对于向量

v

=

(

v

1

,

v

2

,

…

,

v

n

)

\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)

v=(v1​,v2​,…,vn​)，其1范数定义为：

∥

v

∥

1

=

∣

v

1

∣

+

∣

v

2

∣

+

⋯

+

∣

v

n

∣

\|\mathbf{v}\|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n|

∥v∥1​=∣v1​∣+∣v2​∣+⋯+∣vn​∣

这种范数测量的是向量分量绝对值的总和。

无穷范数（Infinity Norm）：

无穷范数，也称为最大范数，表示向量各元素绝对值中的最大值。对于向量

v

=

(

v

1

,

v

2

,

…

,

v

n

)

\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)

v=(v1​,v2​,…,vn​)，其无穷范数定义为：

∥

v

∥

∞

=

max

⁡

(

∣

v

1

∣

,

∣

v

2

∣

,

…

,

∣

v

n

∣

)

\|\mathbf{v}\|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \ldots, |v_n|)

∥v∥∞​=max(∣v1​∣,∣v2​∣,…,∣vn​∣)

这种范数测量的是向量中最大分量的绝对值。

这三种范数各有其应用场景。例如，2范数常用于计算向量之间的欧几里得距离，1范数用于优化问题中的稀疏性约束，而无穷范数则用于测量向量中最大分量的影响。在具体应用中选择合适的范数可以更好地解决实际问题。