决策树（人工智能期末复习）

倒杯Whisky 2024-06-24 14:01:08 阅读 69

~~参考书：机器学习（周志华）~~

几个重要概念

`信息熵`

随机事件未按照某个属性的不同取值划分时的熵减去按照某个属性的不同取值划分时的平均熵。

表示事物的混乱程度，熵越大表示混乱程度越大，越小表示混乱程度越小。

对于随机事件，如果当前样本集合D中第k类样本所占的比例为 p k {p_k} pk，那么D的信息熵为：

在这里插入图片描述

我们需要选择熵最小的。

`信息增益——ID3`

考虑到不同的分支结点所包含的样本数不同，我们给分支结点赋予权重| D v {D^v} Dv| / | D D D|，可计算出用属性a对样本集D进行划分所获得的信息增益：

在这里插入图片描述

一般来说，信息增益越大，使用属性a 来进行划分所获得的“纯度提升”越大，因此我们需要选择信息增益最大的

`信息增益率——C4.5`

信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好可能带来的不利影响，我们考虑属性a的取值数目，

在这里插入图片描述

其中

在这里插入图片描述

增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好，在选择时，先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的

`基尼系数——CART`

数据集D的纯度可用基尼值来度量，它反映了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率，因此，Gini(D)越小，数据集D的纯度越高

在这里插入图片描述

属性a的基尼指数定义为：

在这里插入图片描述

我们在候选属性集合A中，选择那个使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性。

例题

其实主要还是背公式+计算不出错，步骤基本上都差不多

(20年期末)设训练集如下表所示，请用经典的 ID3 算法 完成其学习过程。

在这里插入图片描述

题目还给出了：

在这里插入图片描述

使用ID3算法就只需要计算信息增益就好了，计算步骤如下：

STEP1 第一步需要计算出集合D的总信息熵

在决策树学习开始时，根结点包含D中的所有样例，其中正例占 p 1 p_1 p1 = 3 6 3 \over 6 63 = 1 2 1 \over 2 21，反例占 p 2 p_2 p2= 1 2 1 \over 2 21，于是根结点的信息熵为：

Ent(D) = -（ 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21 + 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21) = 1

STEP2 接下来计算每个属性的信息熵

属性 x 1 {x_1} x1：包含 D 1 {D^1} D1（T）和 D 2 {D^2} D2（F），各占 1 2 1 \over 2 21

D 1 {D^1} D1（T）：正例占 p 1 p_1 p1 = 2 3 2 \over 3 32，反例占 p 2 p_2 p2= 1 3 1 \over 3 31

Ent( D 1 {D^1} D1) = -（ 2 3 2 \over 3 32 log₂ 2 3 2 \over 3 32 + 1 3 1 \over 3 31 log₂ 1 3 1 \over 3 31) = 0.9183

D 2 {D^2} D2（F）：正例占 p 1 p_1 p1 = 1 3 1 \over 3 31，反例占 p 2 p_2 p2= 2 3 2 \over 3 32

Ent( D 2 {D^2} D2) = -（ 1 3 1 \over 3 31 log₂ 1 3 1 \over 3 31 + 2 3 2 \over 3 32 log₂ 2 3 2 \over 3 32) = 0.9183

因此Ent( x 1 {x_1} x1) = 1 2 1 \over 2 21Ent( D 1 {D^1} D1) + 1 2 1 \over 2 21Ent( D 2 {D^2} D2) = 0.9183

属性 x 2 {x_2} x2：包含 D 1 {D^1} D1（T）和 D 2 {D^2} D2（F），分别占 2 3 2 \over 3 32和 1 3 1 \over 3 31

D 1 {D^1} D1（T）：正例占 p 1 p_1 p1 = 1 2 1 \over 2 21，反例占 p 2 p_2 p2= 1 2 1 \over 2 21

Ent( D 1 {D^1} D1) = -（ 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21 + 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21) = 1

D 2 {D^2} D2（F）：正例占 p 1 p_1 p1 = 1 2 1 \over 2 21，反例占 p 2 p_2 p2= 1 2 1 \over 2 21

Ent( D 2 {D^2} D2) = -（ 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21 + 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21) = 1

因此Ent( x 2 {x_2} x2) = 2 3 2 \over 3 32Ent( D 1 {D^1} D1) + 1 3 1 \over 3 31Ent( D 2 {D^2} D2) = 1

STEP3 最后计算每个属性的信息增益

Gain（D， x 1 {x_1} x1）=Ent(D) - Ent( x 1 {x_1} x1) = 1 - 0.9183 = 0.0817

Gain（D， x 2 {x_2} x2）=Ent(D) - Ent( x 2 {x_2} x2) = 1-1 = 1

选择信息增益大的作为第一个属性，即选择属性 x 1 {x_1} x1对根节点进行扩展

在这里插入图片描述

扩展 x 1 {x_1} x1之后还未得到最终方案结果，只剩 x 2 {x_2} x2属性可拓展，因此不需要再进行条件熵的计算，对 x 2 {x_2} x2扩展后所得到的决策树如下图所示：

在这里插入图片描述

(19年)下表给出外国菜是否有吸引力的数据集，每个菜品有 3 个属性“温度”、“口味”，“份量”，请用决策树算法画出决策树（根据信息增益）。并预测 dish= {温度=热，口味=甜，份量=大} 的一道菜，是否具有吸引力。

在这里插入图片描述

这题也是根据信息增益选择属性，和上一题步骤一样

STEP1 第一步计算出集合D的总信息熵

根结点包含10个样例，其中正例占 p 1 p_1 p1 = 1 2 1 \over 2 21 ，反例占 p 2 p_2 p2= 1 2 1 \over 2 21，于是根结点的信息熵为：

Ent(D) = -（ 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21 + 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21) = 1

STEP2 接下来计算每个属性的条件熵

温度属性：包含 D 1 {D^1} D1（冷）和 D 2 {D^2} D2（热），各占 1 2 1 \over 2 21

D 1 {D^1} D1（冷）：正例占 p 1 p_1 p1 = 3 5 3 \over 5 53，反例占 p 2 p_2 p2= 2 5 2 \over 5 52

Ent( D 1 {D^1} D1) = -（ 3 5 3 \over 5 53 log₂ 3 5 3 \over 5 53 + 2 5 2 \over 5 52 log₂ 2 5 2 \over 5 52) = 0.971

D 2 {D^2} D2（热）：正例占 p 1 p_1 p1 = 2 5 2 \over 5 52，反例占 p 2 p_2 p2= 3 5 3 \over 5 53

Ent( D 2 {D^2} D2) = -（ 2 5 2 \over 5 52 log₂ 2 5 2 \over 5 52 + 3 5 3 \over 5 53 log₂ 3 5 3 \over 5 53) = 0.971

因此Ent(温度) = 1 2 1 \over 2 21Ent( D 1 {D^1} D1) + 1 2 1 \over 2 21Ent( D 2 {D^2} D2) = 0.971

份量属性：包含 D 1 {D^1} D1（大）和 D 2 {D^2} D2（小），各占 1 2 1 \over 2 21

D 1 {D^1} D1（冷）：正例占 p 1 p_1 p1 = 1 5 1 \over 5 51，反例占 p 2 p_2 p2= 4 5 4 \over 5 54

Ent( D 1 {D^1} D1) = -（ 1 5 1 \over 5 51 log₂ 1 5 1\over 5 51 + 4 5 4 \over 5 54 log₂ 4 5 4 \over 5 54) = 0.722

D 2 {D^2} D2（热）：正例占 p 1 p_1 p1 = 4 5 4 \over 5 54，反例占 p 2 p_2 p2= 1 5 1 \over 5 51

Ent( D 2 {D^2} D2) = -（ 4 5 4 \over 5 54 log₂ 4 5 4 \over 5 54 + 1 5 1 \over 5 51 log₂ 1 5 1 \over 5 51) = 0.722

因此Ent(份量) = 1 2 1 \over 2 21Ent( D 1 {D^1} D1) + 1 2 1 \over 2 21Ent( D 2 {D^2} D2) = 0.722

口味属性：包含 D 1 {D^1} D1（咸）和 D 2 {D^2} D2（甜）和 D 3 {D^3} D3（酸），分别占 3 10 3 \over 10 103、 4 10 4 \over 10 104和 3 10 3 \over 10 103

D 1 {D^1} D1（咸）：正例占 p 1 p_1 p1 = 0，反例占 p 2 p_2 p2= 1

Ent( D 1 {D^1} D1) = 0

D 2 {D^2} D2（甜）：正例占 p 1 p_1 p1 = 1 2 1 \over 2 21，反例占 p 2 p_2 p2= 1 2 1 \over 2 21

Ent( D 2 {D^2} D2) = -（ 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21 + 1 2 1 \over 2 21 log₂ 1 2 1 \over 2 21) = 1

D 3 {D^3} D3（酸）：正例占 p 1 p_1 p1 = 1，反例占 p 2 p_2 p2= 0

Ent( D 3 {D^3} D3) = 0

因此Ent(口味) = 3 10 3 \over 10 103Ent( D 1 {D^1} D1) + 4 10 4 \over 10 104Ent( D 2 {D^2} D2) + 3 10 3 \over 10 103Ent( D 3 {D^3} D3)= 0.4

STEP3 最后计算每个属性的信息增益

Gain（D，温度）=Ent(D) - Ent(温度 = 1 - 0.971= 0.029

Gain（D，份量）=Ent(D) - Ent(份量) = 1 - 0.722 = 0.278

Gain（D，口味）=Ent(D) - Ent(口味) = 1 - 0.4= 0.6

选择信息增益大的作为第一个属性，即选择口味属性对根节点进行扩展，第二层选择份量属性，最后选择温度属性，画出的决策树如下

在这里插入图片描述

也可以只在口味=甜的时候选择下一个属性是“份量”还是“温度”，因为口味=酸的时候已经可以得出结果为“是”，口味为咸的时候已经可以得出结果为“否”。

在这里插入图片描述

预测 dish= {温度=热，口味=甜，份量=大}，根据决策树可以预测结果为“否”。

~~剩下的题我就不具体写了，大家可以自己练练手。~~

(18年期末)下表为是否适合打垒球的决策表，请用决策树算法画出决策树，并请预测 E= {天气=晴，温度=适中，湿度=正常，风速=弱} 的场合，是否合适打垒球。

在这里插入图片描述

画出的决策树如下

在这里插入图片描述

(17年期末)设使用ID3算法进行归纳学习的输入实例集S={ i | 1≤ i ≤ 7 }如下表所示。学习的目标是用属性A、B、C预测属性F。

（1）写出集合S分别以属性A、B、C作为测试属性的熵的增益Gain(S, A)、Gain(S, B)、Gain(S, C)的表达式。

（2）属性A、B、C中哪个应该作为决策树根节点的测试属性?

在这里插入图片描述

（1）

Gain(S, A)=0.067、Gain(S, B)=0.128、Gain(S, C)=0.522

（2）C作为根节点，AB位置可互换

在这里插入图片描述

（22年秋期末）你的飞船刚刚降落在一个外星星球上，你的船员已经开始调查当地的野生动物。不幸的是，你的大多数科学设备都坏了，所以你只能知道一个物体是什么颜色，它有多少只眼睛，它是否活着。更糟糕的是，你们都不是生物学家，所以你们必须使用决策树来将着陆点附近的物体分类为活着或不活着。使用下表回答以下问题：

(1)下列哪个熵值最大？

H(Alive|eyes>10), H(Alive|eyes<10), H(Alive|color=green), H(Alive|color=black)

(2)计算信息增益值 IG(Alive|color)；

(3)假设我们想将“眼睛数”转换为一个二进制属性，以构建决策树。以下哪种二元分类划分导致 IG（活眼数）值更大？

（a） {Number of eyes = 11, Number of eyes != 11},

（b） {Number of eyes <= 4, Number of eyes > 4},

（c） {Number of eyes <= 13, Number of eyes > 13}

(4)按照信息熵理论根据上一问的二元划分构造一个决策树并对下面的例子进行分类

(a) A red object with 23 eyes，

(b) A black object with 1.5 eyes